WisFaq!

Een vlo die springt

Vorig jaar een examenvraag, en sindsdien een zware dobber om op te lossen, velen hebben het geprobeerd (en de prof heeft nooit willen antwoorden, om die vraag wat te sparen blijkbaar);

een vlo zit op een tegelvloer.
iedere seconde verspringt ze naar een aanliggende tegel(boven,onder,links,rechts) zonder willekeur
neem voor het gemak dat de vloer onmetelijk groot is...
wat is de kans dat de vlo na 5 respectievelijk na 60 terug op de "starttegel" terecht komt...

Na 5 is makkelijk, maar naar 60??

ikke
6-2-2004

Antwoord

Noem P(n,a,b,c,d) de kans dat bij n keer springen de vlo a keer naar boven, b keer naar onder, c keer naar links en d keer naar rechts is gesprongen. Die kans is multinomiaal verdeeld en luidt dus

P(n,a,b,c,d)
= n!/[a!b!c!d!]·¹/₄^a·¹/₄^b·¹/₄^c·¹/₄^d
= n!/[a!b!c!d!]·¹/₄ⁿ

De vlo landt op de starttegel als a=b=v en c=d=w. Aangezien 2v+2w=n bekom je dan dat als n even is, de gevraagde kans gegeven wordt door

¹/₄ⁿ·$\sum$ n!/[[r!]²·[[n/2-r]!]²]

waarbij de sommatie loopt over r van 0 tot n/2. Als n oneven is is de kans nul.

P[terug na 5 seconden] = 0
P[terug na 60 seconden] $\approx$ 1%

cl
7-2-2004