WisFaq!

Bewijzen dat een propositie een tautologie is

Ik zou graag antwoord krijgen op de volgende vraag:
Toon aan dat de volgende propositie een tautologie is , zonder gebruik te maken van waarheidstabellen. Geef bij elke stap een verantwoordring.
(Ø(QÞR)ÙØ)ØQÞ(RÚS)))Þ(ØRÞS0

(negatie(Q implicatie R) conjunctie negatie(negatie Q implicatie (R disjunctie S))) implicatie (negatie R implicatie S)

Elke Schrooten
6-2-2004

Antwoord

Er zijn twee tikfoutjes in je opgave geslopen:

(Ø(QÞR)ÙØ(ØQÞ(RÚS)))Þ(ØRÞS). (1)

Pas nu de contrapositie toe:

(1) Û (Ø(ØRÞØQ)ÙØ(ØQÞ(RÚS)))Þ(ØRÞS). (2)

Volgens de Stelling van De Morgan:

(2) Û Ø((ØRÞØQ)Ú(ØQÞ(RÚS)))Þ(ØRÞS). (3)

Conform de stelling dat (AÞB) Û (ØAÚB) geldt:

(3) Û Ø((ØØRÚØQ)Ú(ØØQÚ(RÚS)))Þ(ØØRÚS). (4)

Haal de dubbele ontkenningen weg:

(4) Û Ø((RÚØQ)Ú(QÚ(RÚS)))Þ(RÚS). (5)

Gebruik nu de associativiteit van Ú:

(5) Û Ø((RÚ(ØQÚQ)ÚR)ÚS)Þ(RÚS).

Bedenk nu dat (ØQÚQ) een tautologie is. Dan is (RÚ(ØQÚQ)ÚR)ÚS dus ook een tautologie. De ontkenning daarvan, Ø((RÚ(ØQÚQ)ÚR)ÚS), is dus een contradictie. Deze contradictie is echter de premisse van een implicatie en derhalve is de implicatie een tautologie.

KLY
6-2-2004