WisFaq!

Arctan reeksen

hoe moet je de volgende vraag maken?
vind zoveel mogelijk relaties van de vorm p/4=arctan 1/N1+1/N2+....arctan 1/Nk met N1....Nk positief geheel?
ik hoop dat jullie me kunnen helpen hierbij.

sha
5-2-2004

Antwoord

Dit is een eindopdracht uit het Zebraboekje uit de Epsilonreeks nummer 6:PI.
De tip die er bij staat is: probeer om te beginnen alle positief gehele p, q te vinden zo, dat
p/4=arctan(1/p)+arctan(1/q).

Direct hiervoor wordt in paragraaf 6.1 de arctangensidentiteit:
arctan(1/2)+arctan(1/3)=p/4 afgeleid.
De afleiding hiervan berustte op de somformule voor de tangens:
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
zodat
tan(arctan(1/2)+arctan(1/3)=(¹/₂+¹/₃)/(1-¹/₂.¹/₃)=1.
We zoeken dus getallen 1/p en 1/q zodat (1/p+1/q)/(1-1/p.1/q)=1. (met p en q positief geheel).
Het lijkt me dan handig om deze breuk eerst eens een beetje te fatsoeneren:
De teller wordt (p+q)/pq, de noemer wordt (pq-1)/pq, dus de hele breuk wordt (p+q)/(pq-1) en dat moet 1 zijn.
Handig lijkt me nu b.v. q=p+1, q=p+2,....q=p+c te kiezen en te kijken of de resulterende vierkantsvergelijking gehele oplossingen heeft.
Wellicht kom je zo een stapje verder. Succes.

De andere tip uit het boekje is:
Een andere mogelijkheid is om de computer van dergelijke relaties te laten onderzoeken en vervolgens de gevonden waarden van n1,n2... te controleren met de optelformule voor de tangens.

hk
8-2-2004