WisFaq!

Re: Bewijs dat in elke pythagoras driehoek minstens 1 zijde een vijfvoud is

kan het ook eenvoudiger?
Ik zit in de 2^e havo/vwo en ik begrijp deze lap tekst niet helemaal!

melissa
3-2-2004

Antwoord

Beste Melissa,

Ik zal het proberen in onderbouw HV taal opnieuw uit te leggen.

Het verhaal "modulo 5" betekent dat je alleen kijkt naar de rest bij deling door 5. Als een getal N een vijfvoud is plus 2, dan zeggen we dat N=2 modulo 5.

We hebben nu 5 mogelijkheden voor een getal modulo 5, en we kijken hoe het met het kwadraat zit:

1. Het getal N=0 modulo 5, dus N is een vijfvoud, oftewel N=5n. Dan is N²=(5n)²=5²·n² ook een vijfvoud, dus N²=0 modulo 5,
2. N=1 modulo 5, dus N=5n+1 en N²=(5n+1)²=25n²+10n+1 is een vijfvoud plus 1, dus N²=1 modulo 5,
3. N=2 modulo 5, dus N=5n+2 en N²=(5n+2)²=25n²+20n+4 dus N²=4 modulo 5
4. N=3 modulo 5, dus N=5n+3, en N²=(5n+3)²=25n²+30n+9 is een vijfvoud plus 4, dus N²=4 (mod 5)
5. N=4 modulo 5, dus N=5n+4 en N²=(5n+4)²=25n²+40n+16 en dus N²=1 modulo 5.

Zoals je ziet komen alleen N²=0,1 en 4 modulo 5 voor.

Terug naar de vraag: stel we hebben een Pythagoras-driehoek (zijden hebben helen als lengte) dan zou er minstens 1 vijfvoud bij moeten zijn. We gaan kijken of we zonder een vijfvoud een Pythagoras-driehoek kunnen maken, en laten zien dat dat niet lukt.

Voor de twee rechthoekszijden zijn er modulo vijf nu maar drie mogelijkheden, er mag geen 0 bij zitten:

• 1+1=2 modulo 5, maar 2 kan niet bij een kwadraat horen,
• 4+4=8=3 modulo 5, maar 3 kan ook niet bij een kwadraat horen,
• 1+4=5=0 modulo 5, maar daan is de schuine zijde een vijfvoud.

Je ziet dat de pogingen om Pythagorasdriehoeken te maken zonder een vijfvoud allemaal mislukken. We hebben alle mogelijkheden geprobeerd. Dus kennelijk moet er altijd een vijfvoud tussen de zijden zitten.

FvL
3-2-2004