WisFaq!

Differentieren

Hai ,

Ik had 2 vraagjes:

Vraag 1.Ik heb de volgende formule:
f(x)= ^x4-16/_x²-p²

hier heb ik mbv de quotiëntregel de afgeleide van bepaald:
f'(x)= ^{(4x3)·(x2-p2)-(x4-16)·(2x-2p)}/_(x²-p²)²

Mijn vraag is nu hoe ik deze functie nu eenvoudig kan opschrijven, want dat lukt me echt niet :D.

Vraag 2.Gegeven is de familie van functies:
f(x)=^2x2+2x+a/_-x+1

a. toon aan dat f(x) ook geschreven kan worden als: f(x)= -2x-4+(^a+4/_-x+1)

Deze begreep ik op zich wel, maar dan vraag b ...

b. geef de asymptoten van de grafiek van f(x) voor de andere waarden van a

de verticale asymptoot is natuurlijk x=1, maar ik snapte niet helemaal hoe ik aan de scheve asymptoot moet komen. Het antwoordenboek zegt heel eenvoudig dat dit y=-2x-4 is, die ze bij vraag a als het ware uit de formule gehaald hebben, maar als ik die andere formule niet gehad zou hebben zou ik daar nooit opgekomen zijn en ik begrijp het ook niet helemaal...


Ik hoop dat jullie mijn vragen een beetje begrijpen en alvast bedankt!

Groetjes,

Eeevje
2-2-2004

Antwoord

Dag Eeevje

De eerste vraag: dat antwoord is correct op die -2p in de teller na. Als je afleidt (naar x) moet je die p² behandelen als een constante, dus afgeleide is nul. Dus die -2p moet er niet staan.

Hoe kan je dat eenvoudiger opschrijven? Ik vind het eigenlijk wel goed zoals het er nu staat, je zou eventueel de teller kunnen splitsen in de twee termen, en dan zal er in de eerste term een factor x²-p² kunnen geschrapt worden. Ik zou de haakjes niet gaan uitwerken, 't is veel properder zoals het er nu staat.

Tweede vraag: als een functie een schuine asymptoot heeft, kan je het voorschrift schrijven als px + q + g(x).

Hierin is px+q de vergelijking van de asymptoot, en g(x) wordt nul als x naar oneindig gaat. En dat bekom je juist door de functie te schrijven als
-2x-4+^a+4/_-x+1

Dus voor heel grote waarden van x, zal er bijna geen verschil zijn tussen de waarde van de functie, en de waarde van px+q. Die twee liggen willekeurig dicht bij elkaar, dus is die px+q de asymptoot!

Hoe kom je nu aan die uitdrukking? Wel, je voert gewoon de deling uit (staartdeling of Euclidische deling of hoe je het ook wil noemen) en dan kom je vanzelf op die oplossing.

NB: let wel op: je krijgt enkel een verticale asymptoot als de noemer nul is en de teller niet nul. Nu is er één geval (één waarde voor a) waarvoor je 0/0 krijgt in het punt x=1, dus in dit geval geen verticale asymptoot voor x=1...

Groeten,

Christophe
2-2-2004