WisFaq!

De hoofdstelling van de algebra

Ik heb gelezen over de hoofdstelling van de algebra (ik weet niet precies hoe ik hem hier duidelijk weer kan geven, maar ik weet dat jullie hem kennen), maar begrijp een ding niet. Begrijp ik dit goed?: als n de graad van de vergelijking is, is het aantal oplossingen in het complexe vlak gelijk aan n. Maar een tweedegraadsvgl. met discriminant gelijk aan 0 heeft maar 1 oplossing toch? En een eerstegraadsvgl. dan? Of gaat het om een bepaalde soort vgl. ? Zo ja, waarom is het dan DE hoofdstelling van de algebra?

bvd

Bart Kleyngeld
1-2-2004

Antwoord

Dag Bart,

Je formuleert de stelling juist: een n-de graads vergelijking heeft in precies n oplossingen.
Of anders: de hoofdstelling zegt, dat je een n-de graads veelterm kan ontbinden in precies n factoren van 1e graad.
En voor een 2e-graads veelterm (waarvan de bijbehorende op 0 gestelde vergelijking een discriminant heeft gelijk aan 0) geldt dat ook; bij een vergelijking kan je die ene wortel opvatten als 2 gelijke wortels.
Voorbeeld (reëel): x² - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1)
En waarom DE? Het is de enige stelling die in de algebra wordt aangegeven met de naam 'hoofdstelling'; en... het is (wellicht) de belangrijkste stelling!

dk
1-2-2004