WisFaq!

Re: Bespreek van stelsel adhv det

Als ik nu eens alles op een rijtje zet dan gaat bespreken eigenlijk als volgt
(a.d.h.v.e. v.b.)

S-
x+y=a
ax+2y=1
2x+ay=1

(1) we nemen een hoofddeterminant bv hier:
: 1 1 :
¦ ¦
: a 2 : = A Deze detA moet dan nul zijn
dus det(A)= 2-a

(2) eerste geval: a¹2dan heeft S oplossingen als RgA=2=RgAb
Hierbij rekenen we dan de eliminant uit en deze moet gelijk zijn aan nul, dan pas oplossingen

(3) a=2
en als alle karakteristieke determinanten nul zijn géén oplossingen...


Juist?

Anne
1-2-2004

Antwoord

Bij punt (1) snap ik niet waarom je zegt det(A)=0
als je iets later toch onderscheid maakt tussen a=2 en a¹2.

Maar verder klopt je redenering wel afhankelijk van wat je juist bedoelt met "karakteristieke determinanten".

Dus: samengevat adhv jouw voorbeeld.
1) je berekent idd de determinant van de matrix
A=[[1,1][a,2]] en dus gelijk aan 2-a

2) stel a¹2 dan heeft het stelsel
S'-
x+y=a
ax+2y=1
een unieke oplossing nl. x=(2a-1)/(2-a) en y=(1-a²)/(2-a)
Deze oplossing is pas oplossing van het volledige stelsel asa RgA=2=RgAb.
En dus zoals je zelf aangeeft, rekenen we hierbij dan de eliminant uit. Deze moet gelijk zijn aan nul, dan pas hebben we een oplossingen.
Is de eliminant verschillend van nul dan heeft S geen oplossingen.

3) Stel a=2 =
S'-
x+y=a
ax+2y=1
vertaalt zich naar:
S'-
x+y=2
2x+2y=1
of nog
S'-
2x+2y=4
2x+2y=1
Dit is een strijdig stelsel. Bijgevolg heeft S' geen oplossing en dus ook S niet.
Algemeen is het zo dat de rang van A hier gelijk is aan 1 en opdat S een oplossing heeft moet ook rang(A_b) gelijk zijn aan 1. Dus alle deeldeterminanten van orde 2 of hoger moeten nul zijn.

Mvg,
Els

Els
2-2-2004