WisFaq!

Meetkundige Rij

Beste, ik heb een vraag i.v.m. een meetkundige rij.

a) en b) heb ik opgelost, maar met c) heb ik wat problemen.

geg: Een balletje valt van op een hoogte van één meter. Bij elke botsing neemt de hoogte met 30% af.

gev:

a) Schrijf de rij van de hoogten. Welk soort rij is dit?

Þ (Xn): 1, 7/10 , 49/100 , 343/1000 , 2401/10000 , ...
Dit is een meetkundige rij

b) Wat is de totale afstand die het balletje aflegt voor het stilvalt?

Þ 1 + 2 * 7/10 + 2 * 49/100 + 2 * 343/1000 + 2 * 2401/10000 + ... (telkens maal 2 omdat het balletej ook weer naar boven komt)

Û 1 + 14/10 + 98/100 + 686/1000 + 4802/10000 + ...
Û 1 + ( 7/5 + 49/50 + 343/500 + 2401/5000 + ... )
Û 1 + ( [t1 = 7/5 q = 7/10] )
Û 1 + ( t1/(1-q) )
Û 17/3 Þ 5,66666m

c) Hoe lang duurt het voor het balletej stilvalt? (Voor de valbeweging geldt: h = (gt²)/2. Bovendien is de tijd om te stijgen tot een zekere hoogte dezelfde als die om te vallen van op die hoogte.)

Alvast bedankt voor uw hulp.

Bart Dewulf
30-1-2004

Antwoord

Hoi,

Uit onderdeel a) ken je de rij van hoogtes:
1, 0.7, 0.7², 0,7³, .....

De formule h=gt²/2 kun je omschrijven tot 2h=gt² en dus t²=2h/g,
dus t=Ö(2/g)Ö(h).

Voor de "enkele reis" krijg je dus de volgende tijden:

Ö(2/g), Ö(2/g)Ö(0.7), Ö(2/g)(Ö(0.7))²,Ö(2/g)(Ö(0.7))³,....
Voor de totale tijd krijgen we dus:
Ö(2/g)(1+(2*Ö(0.7)+2*(Ö(0.7))²+2*Ö(0.7)³+......))
neem t1=2*Ö(0.7) en q=Ö(0.7)

Voor de totale tijd levert dit:
Ö(2/g)(1+(2*Ö(0.7)/(1-Ö(0.7))).
Kies nu voor g een geschikte waarde en benader de totale tijd.

hk
30-1-2004