WisFaq!

Parallel, projectie, verhouding

hoi
ik zit vast bij een vraag:
(D) en (D') twee lijnen die elkaar snijden in O
A een punt van (D) en B een punt op (D') beide punten zijn anders dan het snijpunt. M is een punt op (AB)
P is de projectie van M op (OA) parallel met (OB)
Q is de projectie van M op (OB)prallel met (OA)

1. toon aan OP/OA +OQ/OB = 1
2. stel dat de punten Q en P voldoen aan deze gelijkheid OP/OA +OQ/OB = 1
toon aan dat M het punt waarvoor geldt dat POQM een parallalogram is ligt op lijn (AB)
alvast merci

Paralle
28-1-2004

Antwoord

Hoi,

Het plaatje:

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Op basis van de stelling van Thales of met behulp van gelijkvormige driehoeken toon je zo aan dat wanneer m op [ab] ligt: |op|/|oa|=|mb|/|ab| en |oq|/|ob|=|am|/|ab|. Omdat |mb|+|am|=|ab|, volgt het gestelde. Voor m buiten [ab] kan je dit ook bewijzen. Je kan het ook met vectorrekenen bewijzen, of analytisch.

Het omgekeerde bewijs je makkelijkst met vectorrekenen.
Neem p=$\lambda$.a en q=$\mu$.b. We weten dat $\lambda$+$\mu$=1. Omdat poqm een parallellogram is, geldt dat m=p+q=$\lambda$.a+$\mu$.b=(1-$\mu$).a+$\mu$.b=a+$\mu$.(b-a)=a+$\mu$.ab. En dus ligt m inderdaad op de rechte door a en b.

Groetjes,
Johan

andros
28-1-2004