WisFaq!

Raar bewijs

Ik heb morgen tentamen lineaire algebra, en ik denk dat ik alles nu redelijk begrijp, maar nu staat er in mijn oefententamen een heel vreemde vraag waar ik niet van snap hoe ik het bewijs. De vraag is:
Zij V een vectorruimte met inproduct en {u,v} een orthogonaal stelsel in V. Bewijs dat IIu-vII=√2
(met II.....II bedoel ik lengte)

Ik dacht zelf al aan het uitschrijven van een IIu-vII², omdat dan de termen $<$u,v$>$ wegvallen (orthogonale stelsel, maar dan hou je nog weer over $<$v,v$>$+$<$u,u$>$.

Wet u misschien hoe ik dit aanpak?
alsvast bedankt
Erik

Erik
27-1-2004

Antwoord

Hoi,

Je bent goed op weg.

|u-v|²=(u-v).(u-v)=u.u-u.v-v.u+v.v

We weten dat {u,v} een orthogonale basis vormt, zodat u.v=v.u=0.
Bovendien is het (wellicht) ook orthonormaal, zodat |u|=|v|=1 en dus ook u.u=|u|²=1=v.v=|v|².

Dus is |u-v|²=2, zodat |u-v|=√2.

Groetjes,
Johan

andros
27-1-2004