WisFaq!

Integreren van de volgende functie

Hoi,

Ik weet niet precies of dit het goede onderwerp is, maar heb het volgende probleem:

Using Laplace transforms, solve the integral equation:

y(t) = 1 - 0òt (t - t)y(t) dt

P.
25-1-2004

Antwoord

Gewoon een oefening op de eigenschappen van de Laplacetransformatie. Veronderstel dat de oplossing Laplacetransformeerbaar is en noem het Laplacebeeld Y(s). Wegens de convolutie-eigenschap en het feit dat L[t] = 1/s² geldt dan

Y(s) = 1/s - Y(s).(1/s²)
® Y(s) = s/(s²+1)
® y(t) = cos(t)

Het is leerrijk het eens te proberen zonder de convolutie-stelling, enkel met de eigenschappen

L[f(t)] = F(s)
L[₀ò^t f(t)dt) = F(s)/s
L[t·f(t)] = -dF(s)/ds
L[1] = 1/s

Merk op dat er nog functies kunnen zijn die voldoen aan de integraalvergelijking maar niet Laplacetransformeerbaar zijn. Bedenk ook dat je oneindig veel oplossingen kan maken door in een bestaande oplossing de functiewaarde van een eindig aantal geisoleerde punten te wijzigen.

cl
30-1-2004