WisFaq!

Afstand van een punt tot een rechte

Hallo hier ben ik weer met een probleem
De afstand d(P,r) van een punt P met coördinaten (x_P, y_P) tot een rechte r met vergelijking ax + bx + c = 0 wordt gedefinieerd als de afstand d(P,Q) met Q het snijpunt van de loodlijn uit P op de rechte r. Er wordt gevraagd om de vgl van l te bepalen (l is de loodlijn uit P op r)
Ik kom hiervoor uit :
y - y_P = (b/a)(x-x_P)
Vervolgens wordt gevraagd de coördinaten van Q te bepalen, waarbij Q het snijpunt is van de rechten r en l. Om dit te bekomen heb ik het stelsel van de vgl van de rechte van l met ax + by + c opgelost en kom voor uit
-voor y : ((-b³-b²ay_P-abc)/(a³-ab²)) + (b/a)x
_P + y_P
-voor x : ((-b²-(b/a)y_P - ac) /(a²+b²)
En als laatste met de afstand berekenen tussen P en Q, zijnde de afstand d(P,r)

Wat heb ik fout gedaan om het opgegeven antwoord hiervoor
|ax_P + by_P + c| / √(a²+b²)
niet te bekomen?

nogmaals dank voor uw hulp

Peggy
24-1-2004

Antwoord

Voor de leesbaarheid (en het typgemak) noem ik P(p,q).

We hebben ax+by+c=0 (1) en
y-q=b/a(x-p). (2)
Als we naar het einddoel van de 'opgave' kijken dan moeten we straks
√((x-p)²+(y-q)²) uitrekenen.
Het is dus handig om het stelsel op te lossen naar x-p en y-q. Als we deze kennen weten we als toegift ook de coordinaten van het snijpunt wel te vinden.
We schrijven (1) om in de volgende vorm:
a(x-p)+ap+b(y-q)+bq+c=0, dus
a(x-p)+b(y-q)=-c-ap-bq. (1a)
(2) schrijven we om naar a(y-q)=b(x-p) (2a)
(1a) vermenigvuldigen met a en 2a vermenigvuldigen met b levert dan het stelsel:
a²(x-p)+ab(y-q)=a(-c-ap-bq) (1b)
ab(y-q)=b²(x-p) (2b)
Conclusie:
(a²+b²)(x-p)=a(-c-ap-bq), dus x-p=-a(c+ap+bq)/(a²+b²)
dus x=p-a(c+ap+bq)/(a²+b²).
Met (2) vinden we y-q=-b(c+ap+bq)/(a²+b²) dus
y=q-b(c+ap+bq)/(a²+b²).

(x-p)²+(y-q)²=a²(c+ap+bq)²/(a²+b²)²+b²(c+ap+bq)²/(a²+b²)²=
(ap+bq+c)²/(a²+b²),waaruit volgt dat de afstand van P(p,q) tot ax+by+c=0 gelijk is aan |ap+bq+c|/√(a²+b²)

Merk op dat het handiger is eerst P en de rechte zo te verschuiven dat P' in de oorsprong terecht komt. Dus een translatie over (-p,-q)
(1) en (2) krijgen dan de vorm:
a(x+p)+b(y+q)+c=0 oftewel ax+by=-c-ap-bq (1d) en
y=b/ax. (2d)
Dit levert na vermenigvuldiging van (1d) met a en (2d) met ab het stelsel:
a²x+aby=-a(c+ap+bq)
aby=b²x,
waaruit volgt (a²+b²)x=-a(c+ap+bq), dus x=-a(c+ap+bq)/(a²+b²)en
y=-b(c+ap+bq)/(a²+b²).
Voor de oorspronkelijke coordinaten van het snijpunt moet dan weer teruggetransleerd worden over de vector(p,q), waaruit bovenstaand snijpunt volgt.
De gevraagde afstand is dan √(x²+y²)=|c+ap+bq|/√(a²+b²).
Het bijzondere hieraan is dat (1d) de vorm ax+by=-c-ap-bq had.
Conclusie: de afstand van (0,0) tot ax+by+d=0 is gelijk aan |d|/√(a²+b²).

hk
25-1-2004