WisFaq!

Logaritmen

Hoi,
Omdat ik thuis zat, heb ik zeker 2 lessen wiskunde gemist en we zijn begonnen met een nieuw hoofdstuk: logaritmen. Ik snap er natuurlijk niets van en wou daarom vragen of jullie soms geen makkelijke oefeningen hadden, echt gemakkelijke met toepassingen op de bewijzen of zo ...
Ik zou jullie eeuwig dankbaar zijn...

roxaan jacobs
24-1-2004

Antwoord

Beste Roxaan,

De definitie van een logaritme is:
^glog a = x $\Leftrightarrow$ g^x = a

Voorbeeld:
²log 8 = 3 $\Leftrightarrow$ 2³ = 8

Merk hierin op dat:
⁰log a = x $\Leftrightarrow$ 0^x = a
KAN NIET

Voorbeeld:
⁰log 3 = x $\Leftrightarrow$ 0^x = 3
Maar 0^x is altijd 0.

¹log a = x $\Leftrightarrow$ 1^x = a
KAN NIET

Voorbeeld:
¹log 3 = x $\Leftrightarrow$ 1^x = 3
Maar 1^x is altijd 1.

^-2log a = x $\Leftrightarrow$ (-2)^x = a
Het zou dus alleen kunnen als x oneven is en a negatief.

Voorbeeld:
^-2log -8 = x $\Leftrightarrow$ (-2)^x = -8
x = 3

Echter vaak houdt men aan dat het grondtal (g) positief moet zijn en ongelijk aan 1.

Dan nu de 6 bekendste eigenschappen van logaritmen:

1) g^{glog a} = a

Bewijsje:
Toepassen van de definitie geeft:
g^{glog a} = x
^glog x = ^glog a
x = a

Voorbeeld:
2^{2log 8} = 8

2) ^glog(a) + ^glog(b) = ^glog(a·b)

Bewijsje:
Neem ^glog(a) = x
en ^glog(b) = y
Dan geldt uit de definitie dat:
g^x=a en
g^y=b
En dus:
a·b = g^x·g^y
= g^x+y
En uit de definitie volgt weer dat:
g^x+y $\Leftrightarrow$ ^glog(ab) = x + y = ^glog(a) + ^glog(b)

Voorbeeld:
⁴log(3) + ⁴log(2) = ⁴log(6)

3)^glog(a) - ^glog(b) = ^glog(a/b)

Bewijsje:
Neem ^glog(a) = x
en ^glog(b) = y
Dan geldt uit de definitie dat:
g^x=a en
g^y=b
En dus:
a/b = g^x/g^y
= g^x-y
En uit de definitie volgt weer dat:
g^x-y $\Leftrightarrow$ ^glog(a/b) = x - y = ^glog(a) - ^glog(b)

Voorbeeld:
³log(8) - ³log(2) = ³log(4)

4) p·^glog(a) = ^glog(a^p)

Bewijsje:
Neem eigenschap 1:
g^{glog a} = a
Verhef beide tot de macht p:
g^{pglog a} = a^p
Nu geeft de definitie:
p·^glog(a) = ^glog(a^p)

Voorbeeld:
2·³log(4) = ³log(16)

5) ^blog(a) = ^glog(a)/^glog(b)

Bewijsje:
Definitie weer:
^blog(a) = x $\Leftrightarrow$ b^x=a
Kies willekeurig een grondtal g:
^glog(b^x) = ^glog(a)
Uit eigenschap 4 volgt dan:
x·^glog(b) = ^glog(a)
x = ^glog(a)/^glog(b)
En we hadden reeds x =^blog(a) dus:
^blog(a) = ^glog(a)/^glog(b)

Voorbeeld:
⁴log(3) = ^glog(3)/^glog(4)

6) ^glog(a) = ^glog(b) $\Leftrightarrow$ a = b

Bewijsje:
Stel:
^glog(a) = x en
^glog(b) = y
Dan volgt uit de definitie:
g^x = a
g^y = b
Er geldt dus:
g^x = g^y
Maar dan moet gelden x = y en dus:
a = b

Voorbeeld:
³log(4) = ³log(x)$\Leftrightarrow$ 4 = x

Enkele weetjes:
Een logaritme waar geen grondtal bij staat heeft als grondtal 10:
log a = ¹⁰log a

Het Natuurlijke Logaritme wordt aangeduid met 'ln' en heeft als grondtal 'e':
^elog a = ln a

Eigenschap 5 wordt vaak gebruikt om van het ene grondtal naar het andere te stappen.

Eigenschap 6 wordt vaak gebruikt voor het oplossen van logaritmische vergelijkingen.

In de meeste landen noteert men het grondtal niet als een macht voor 'log', maar als een index na 'log':
^glog a = log_g a

Ja en voor oefeningen raad ik je aan om gewoon eens te zoeken binnen wisfaq op logaritme en de vragen te zien als een oefening.

M.v.g.
PHS

PHS
28-1-2004