WisFaq!

Voortbrengende deelverzameling / basis

Hallo

Ik heb een vraagje i.v.m. het zoeken van een basis van een deelruimte.
De vectoren die de basis van een deelruimte moeten lineair onafhankelijk zijn, en ze moeten een voortbrengend deel zijn. Maar waarom is het juist nodig dat die vectoren een voortbrengend deel moeten zijn om een basis te vormen??

Met vriendelijke groeten

P.C.

Pieter Coulier
22-1-2004

Antwoord

Hoi,

Als je bijvoorbeeld in ³ kijkt, dan vormt A={(1,0,0),(0,1,0)} duidelijk een stel onafhankelijke vectoren, maar geen basis voor ³ omdat A niet voorbrengend is voor ³. De vectoren met een z-component verschillend van 0 kunnen namelijk niet 'voortgebracht' worden door lineaire combinaties van (1,0,0) en (0,1,0). A vormt wel een basis voor een deelruimte van ³, namelijk die van alle vectoren met z-component 0. Je moet dus goed bekijken voor welke vectorruimte je een basis zoekt.

Dit argument toont aan dat een basis van een vectorruimte voortbrengend moet zijn voor die vectorruimte. In mensentaal betekent dit dat je alle vectoren van die vectorruimte kan schrijven als een lineaire combinatie van die basisvectoren. Een basis is bovendien minimaal in de zin dat lineair afhankelijke vectoren eruit geweerd worden.

Groetjes,
Johan

andros
23-1-2004