WisFaq!

Goniometrische formules

Hallo,

Ik kan hier iets niet oplossen, het lijkt me nogal moeilijk.

sina+sinb-sin(a+b)= 4 sin(a/2)*sin(b/2)*sin((a+b)/2)

Kunnen jullie helpen ?

Dankjewel

a.
22-1-2004

Antwoord

Hoi,

Die halve a en b suggereren om x=a/2 en y=b/2 te nemen.

Je moet dan bewijzen dat:
sin(2x)+sin(2y)-sin(2x+2y)=4.sin(x).sin(y).sin(x+y)

Welnu:
sin(2x)+sin(2y)-sin(2x+2y)=
sin(2x)+sin(2y)-sin(2x).cos(2y)-cos(2x).sin(2y)=
sin(2x).[1-cos(2y)]+sin(2y).[1-cos(2x)]

We weten dat cos(2x)=cos²(x)-sin²(x) en 1=sin²(x)+cos²(x), zodat 1-cos(2x)=2.sin²(x). Hetzelfde geldt uiteraard voor y.

Dus is:
sin(2x)+sin(2y)-sin(2x+2y)=
sin(2x).[2.sin²(y)]+sin(2y).[2.sin²(x)]=
[2.sin(x).cos(x)].[2.sin²(y)]+[2.sin(y).cos(y)].[2.sin²(x)]=
4.sin(x).cos(x).sin²(y)+4.sin(y).cos(y).sin²(x)=
4.sin(x).sin(y).[cos(x).sin(y)+sin(x).cos(y)]=
4.sin(x).sin(y).sin(x+y)

Groetjes,
Johan

andros
22-1-2004