WisFaq!

Som Lagrange-veeltermen = 1

ik probeer te bewijzen dat (ik hoop dat alle sommatie tekens enzo goed doorkomen...)

å(j=1..n) L_j(x) = 1 voor alle x

met L_j(x) de Lagrangeveeltermen = p(x)/[p'(x_i)*(x-x_i)]

ik heb geprobeerd om het uit te schrijven, op gelijke noemers te brengen, voor n = 2 gaat dit gemakkelijk maar ik zie niet in hoe je het dan kan veralgemenen.

hopelijk kunnen jullie mij helpen.

Dorien

Dorien
22-1-2004

Antwoord

Hoi,

Op MathWorld vinden we de precieze definitie van de Lagrange interpolerende veeltermen.

Formule (10) geeft de veelterm p(x) zoals jij die definieerde. Formule (12) kan je makkelijk bewijzen en geeft een uitdrukking voor p'(x_j). De interpolerende veelterm is dan gegeven door formule (15).

Als je nu f(x)=1 laat interpoleren in n (1) verschillende punten x_i, dan zijn alle y_i=1 uit formule (15). Door n verschillende punten gaat er precies één veelterm van graad hoogstens n-1. f(x) is ook een veelterm van graad n-1 die door al die n punten loopt, daarom moet P(x)=f(x) en dat bewijst je stelling.

Bekijk je ook eens wat er gebeurt als je f(x)=x interpoleert in n (2) punten? Als als f(x) een veelterm is van graad k?

Groetjes,
Johan

andros
22-1-2004