WisFaq!

Meetkundige plaatsen

Goededag,

Ik zit met het volgend probleem: In de vaste driehoek abc is d het midden van lijnstuk bc. Men brengt door d een veranderlijke rechte D die ac snijdt in e en ab in f. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van be en cf.
Ik heb dit eerst in een georthonormeerd assenstelsel geplaatst en de tekening volledig gemaakt. Ik weet proefondervindelijk dat het door a is en evenwijdig met bc, maar ik kan het niet bewijzen;
Bij voorbaat dank,
Robinho

Karin Doom
21-1-2004

Antwoord

Hoi,

Volgend plaatje kan je helpen. Het is interactief. Probeer dus maar eens a of D te verplaatsen (b en c mag ook, maar dat wordt niet zo mooi).

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Je intuïtie was correct. Het snijpunt u van be en cf beschrijft blijkbaar de rechte door a evenwijdig aan bc als D roteert. Je kan dit meetkundig aantonen met behulp van de stelling van Menelaos voor ($\Delta$abc,D), ($\Delta$uce,ab) en ($\Delta$ubf,ac). Hieruit haal je met wat puzzelen dat |ec|/|ea|=|eb|/|eu| (en |fa|/|fb|=|fu|/|fc|), waaruit telkens: au//bc.

Je kan het ook bewijzen in een orthonormaal assenstelsel zoals je suggereerde. Je rekent dan makkelijkst als je de oorsprong in d legt en b en c symmetrisch tov o op de X-as, bijvoorbeeld: c(-1,0) en b(1,0). Het punt a is dan willekeurig en geef je coördinaat (x₀,y₀) bijvoorbeeld. D heeft dan de vergelijking x=$\mu$.y (dit rekent iets makkelijker dan y=$\mu$.x omdat we wel degelijk een u krijgen voor vertikale D). Daarna moet je alle rechten snijden zodat je de coördinaten van u in functie van x₀,y₀ en $\mu$ kan schrijven. Wellicht wordt dat iets van de vorm u(...,y₀) zodat u inderdaad een rechte evenwijdig met bc door a beschrijft.

Nog makkelijker is misschien om niet orthonormaal te rekenen. Neem dan c(0,0), a(0,1), b(1,0) en dus d(1/2,0). D heeft dan vergelijking x-1/2=$\mu$.y. Het rekenen is hetzelfde als hierboven, maar je bent in elk geval die x₀ en y₀ kwijt...

Collega Floor (FvL) stipt aan dat het ook kan met de stellingen van Ceva en Desargues: noem het snijpunt van D met au g, i het snijpunt van ab met cg, j het snijpunt van uc met bg. Door Ceva in driehoek $\Delta$bcg met punt f weten we dat |ci|/|ig| = |bj|/|jg| (d is het midden van bc), zodat ij evenwijdig is aan bc. De snijpunten van de overeenkomende zijden van $\Delta$aci en $\Delta$ubj zijn collineair (op D) zodat met Desargues au, ij en bc concurrent zijn - omdat ij en bc evenwijdig zijn volgt dat au ook aan deze lijnen evenwijdig is.

Ook collega Anneke liet zich niet onbetuigd:

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

In het vervolg bedoelen we met kleuren de oppervlakte van de driehoek in die kleur. Groen=lichtgroen+donkergroen, donker=donkergroen+donkerblauw, enz.

We tonen aan dat oranje gelijk is aan rood, want daarmee is opp($\Delta$abc) = opp($\Delta$xbc), en dan moet x op de lijn door a parallel aan bc liggen.

Omdat d het midden is van [bc], is lichtgroen = donkergroen en lichtblauw = donkerblauw. Verder geldt: rood/donker=(rood+groen)/blauw=|xb|/|be| en oranje/licht=(oranje+groen)/blauw=|ac|/|ce|

Nu geldt: donker=licht, zodat rood/oranje=(rood+groen)/(oranje+groen) en dus rood=0ranje.

Groetjes,
Johan

andros
21-1-2004