WisFaq!

Convergentie rijen reeksen

Hallo,

ik heb de hele site afgezocht voor info die mij kan helpen bij de volgende vraag:

Bewijs dat de reeks Sn = (2ⁿ+n)/(22ⁿ+3n) convergent is en bepaal de som.

Ik heb alleen niks kunnen vinden over hoe convergentie te bewijzen behalve dan door middel van integraalrekening. Alleen, eht primitiveren lijkt mij persoonlijk errug lastig.
Ik neem aan dat ik de oneindige som moet bepalen door de vergelijking te herschrijven en n=$\infty$ moet invullen.

Bertil

Bertil
19-1-2004

Antwoord

Beste Bertil,

Aangezien voor n voldoende groot (groter dan 2) 2ⁿ⁺¹ groter is dan de teller, en tegelijkertijd 22ⁿ kleiner dan de noemer, kunnen we S_n afschatten door 2ⁿ⁺¹/22ⁿ, oftewel

S_n $<$ 2·(¹/₁₁)ⁿ.

Omdat alle S_n positief zijn, en het rechterlid duidelijk een convergente reeks levert, is de reeks S_n convergent (je hebt een convergente majorant).

Het berekenen van de som is me niet gelukt. Ook Maple bood geen uitkomst, ik kreeg bij sommatie van 1 tot oneindig alleen een benadering van ongeveer 1,3337.

FvL
24-1-2004