WisFaq!

Goniometrische functie

Beste Wisfaq,

Ik ben bezig met het maken van enkele goniometrische vergelijkingen zoals sin²x - 3cos²x=-2 lukken me nog wel maar uit de volgende lukte echt niet:
sin2x = 1+Ö3cos2x

De basis van de gonio is gelegd (som/verdubbelingsformules etc.) maar heb ik voor deze vergelijking iets speciaals nodig? En hoe los je hem op??

Maarten
18-1-2004

Antwoord

Ja voor een vergelijking als deze is iets speciaals nodig.

sin(2x)=1+Ö3cos(2x)
sin(2x)-Ö3cos(2x)=1

Delen door 2 levert
1/2sin(2x)-1/2Ö3cos(2x)=1/2

Je kunt nu denken dat hier iets staat als
sin(2x-a)=1/2
sin(2x-a)=sin(2x)cos(a)-cos(2x)sin(a)=1/2
Kennelijk moet dan gelden
cos(a)=1/2 en sin(a)=1/2Ö3
Dus a=1/3p
We hebben dan
sin(2x-1/3p)=1/2. en dan zal het verder wel lukken.

Algemeen:
a sin(x)+bcos(x)=Ö(a²+b²)sin(x+p),
met tan(p)=b/a
Als je dit op jouw voorbeeld toepast krijg je
sin(2x)-Ö3cos(2x)=1
a=1, b=-Ö3, dus
Ö(a²+b²)=Ö(1+3)=Ö4=2 en tan(p)=-Ö3/1=-Ö3, dus p=-1/3p,
Dus
sin(2x)-Ö3cos(2x)=2sin(2x+1/3p)=1,
Dus sin(2x+1/3p)=1/2.

hk
18-1-2004