WisFaq!

Supremum

Stel dat y^nx
we beweren dat voor h0 voldoende kleine nog geldt dat (y+h)^nx
daaruit volgt dan dat y+hÎA
en dit is onmogelijk omdat y een bovengrens is van A

dit hebben we aangetoond m.b.v.;
(y+h)^n-y^n=h((y+h)^(n-1) + (y+h)^(n-2)y + ... + y^(n-1)
dit snap ik al niet goed hoe ze hieraan komen, en op de koop toe, zeggen ze dat wanneer h voldoende klein is, het rechterlid kleiner zal zijn dan x-y^n?????
thx

Lynn Adriaenssens
18-1-2004

Antwoord

Hallo Lynn,

Ben je zeker van die uitwerking?
Het lijkt mij logischer die (y+h)ⁿ te schrijven als yⁿ + ny^n-1h + C(n,2)y^n-2h² + ... + nyh^n-1 + hⁿ

(Binomium van Newton, remember? Ik ga ervanuit dat nÎ)

Als je daar yⁿ van aftrekt, kom je op iets waar je h kan voorop plaatsen:

h(ny^n-1 + C(n,2)hy^n-2 + ...)

En als je x-yⁿ bijvoorbeeld B noemt, dan kan je h zodanig klein laten worden dat die uitdrukking kleiner dan B wordt. Immers, wat tussen de haakjes staat is begrensd omdat x begrensd is (dus y^... is begrensd) en h1 en n begrensd.

En daaruit kan je dan besluiten dat
(y+h)ⁿ - yⁿ x - yⁿ

Dus
(y+h)ⁿ x

Ik hoop dat dit de in dit bewijs bedoelde manier was,
Groeten,

Christophe
18-1-2004