WisFaq!

Bewijs van afgeleiden met teller en noemer e^x

Als opgave:
f(x)=(e^-x-e^x)/(e^-x+e^x)
a) toon aan dat f'(x) = (f(x))² - 1
b) toon met behulp van a aan dat f''(x)=2(f(x))³-2(f(x))

Dat lijkt simpel. (dacht ik!!)
Ik begin de afgeleide van f'(x) en kwam als resultaat
-4/(e^-x+e^x)²

Ik zit vast . Ik weet niet meer hoe ik het kan bewijzen. Misschien weet u raad.

Dank u van vooraan.

De Ridder Anja
13-1-2004

Antwoord

Hoi,

Dit suggereert hyperbolische functies. Je kan het ook zonder...

a) We zijn héél lui en schrijven die e^x-dingen niet graag.
Noem dus h(x)=e^-x-e^x en g(x)=e^-x+e^x.
Je ziet dat h'(x)=-e^-x-e^x=-g(x) en g'(x)=-e^-x+e^x=-h(x).
Dit lijkt me net iets te toevallig om links te laten liggen.

f(x)=h(x)/g(x), dus is f'(x)=([h(x)]'.g(x)-h(x).[g(x)]')/g²(x)=(-g²(x)+h²(x))/g²(x)=[h(x)/g(x)]²-1=f²(x)-1

b) We hebben al dat f'(x)=f²(x)-1, dan is f"(x)=2.f(x).f'(x)=2.f(x).[f²(x)-1]=2.f³(x)-2.f(x)

Groetjes en euh.. de wind van achter,
Johan

Moraal van het verhaal: lui zijn brengt op

andros
13-1-2004