WisFaq!

Moeilijke limiet

ik heb problemen bij volgende limiet,hopelijk kunnen jullie mij daarbij helpen:

lim (sin(x)-sinh(x))/(bgsin(x)-bgsinh(x)) voor x®0

Merci voor de vele hulp jullie mij bieden bij het instuderen

Yvonne
13-1-2004

Antwoord

Hoi,

Even opgezocht bij WikiPedia wat de afgeleiden zijn van al die functies.
[sin(x)]'=cos(x)
[cos(x)]'=-sin(x)
[sinh(x)]'=cosh(x)
[cosh(x)]'=sinh(x)
[bgsin(x)]'=1/Ö(1-x²)
[bgsinh(x)]'=1/Ö(1+x²)

Bemerk ook dat sin(0)=sinh(0)=bgsin(0)=bgsinh(0)=0 en dat cos(0)=cosh(0)=1.

Met f(x)=sin(x)-sinh(x) en g(x)=bgsin(x)-bgsinh(x), zien we dat L=lim[f(x)/g(x),x®0] een 0/0-geval is. De l'Hôpital dus. f'(x)=cos(x)-cosh(x) en g'(x)=1/Ö(1-x²)-1/Ö(1+x²)

Zodat we in lim[f(x)/g(x),x®0] herkennen: (1-1)/(1/1-1/1)=0/0. Teller en noemer nog maar eens afleiden dan...
f"(x)=-sin(x)-sinh(x) en g"(x)=(-1/2).(1-x²)^-3/2.(-2x)-(-1/2).(1+x²)^-3/2.(2x)=x.(1-x²)^-3/2+x.(1+x²)^-3/2.

Dus: f"(x)/g"(x)=-[sin(x)/x+sinh(x)/x]/[(1-x²)^-3/2+(1+x²)^-3/2]. Bemerk dat we die x uit de noemer naar de teller doorgeschoven hebben, zodat je een paar bekende vormen in te teller herkent.

Voor x®0 is sin(x)/x=1 en sinh(x)/x=1 (dit weet je of reken je makkelijk na met de l'Hôpital). Dus is L=-(1+1)/(1+1)=-1.

Groetjes,
Johan

andros
13-1-2004