WisFaq!

Denk aan afgeleiden :-(

Als ze vragen: bereken y voor x=-1 als y²+x=3.ln(y). Hoe kun je die vergelijking dan expliciet gaan omzetten om dan je waarde voor y te gaan zoeken?

Hartelijk dank

Yvonne
13-1-2004

Antwoord

Hoi,

In het algemeen is het antwoord: je kan y niet expliciet naar x schrijven. Maar in dit bijzondere geval hoeft dat eigenlijk niet en kunnen we misschien iets meer doen. Even kijken. Ln(y) is enkel gedefinieerd voor y0 en dan kunnen we x in functie van y schrijven: x=3.ln(y)-y².

De grafiek hiervan is de asspiegeling om de bissectrice van het eerste kwadrant van y=3.ln(x)-x² voor x0. Laten we deze functie beter bekijken: y'=3/x-2x=(3-2x²)/x. Voor x0 hebben we een 0-punt van y' in x₀=Ö(3/2). Voor 0xx₀ is y'0 en voor xx₀ is y'0. Links van x₀ stijgt y dus en rechts ervan daalt y. Maak jij van deze functie een grafiekje? (hint: WisKit)

Je snijdt y=3.ln(x)-x² met y=-1 (denk eraan dat we de grafiek gespiegeld hebben, dus zijn x en y omgewisseld). Bemerk dat y(1)=-1. Dus is x=1 zeker een oplossing... Maar... Omdat 1x₀ en y daalt na x₀ bestaat er een risico dat er nog een tweede snijpunt x₀ bestaat... Omdat lim(y,x®+¥)=-¥, is dit inderdaad zo. Je kan dit 0-punt enkel numerisch berekenen. Dit kan met Newton-Raphson bijvoorbeeld, maar dat zou ons hier te ver leiden denk ik. Je kan in elk geval eens rondzoeken op WisFAQ als je meer wil weten, of reageren natuurlijk.

Groetjes,
Johan

andros
13-1-2004