WisFaq!

Oplossing moet voldoen aan y(1)=2

Hallo!

Ik weet niet wat de uitwerking is van deze opgaven:
Jullie wel?!

opgave 1:

De oplossing van (1/x)y' = (1/y) die aan y(1)=2 voldoet is:

a. y²=x²+3
b. y²=0,5x²+3,5
c. y/ln(y)=0,5x²+2/ln(2)-0,5
d. niet gedefineerd

opgave 2:

De algemene oplossing van y"+y'-2y=0 is van de vorm

a. C₁e^2x+C₂e^-x
b. C₁e^-2x+C₂e^x
c. e^2x+e^-x+C
d. t(e^2x+e^-x+C)

En de laatste opgave:

Een particuliere oplossing van y"-2y'+y = sin(x) is van de vorm

a. A sin(x)
b. sin(x) + cos(x)
c. A sin(x)+ B cos(x)
d. Ax sin(x)

Groeten,
Frans

Frans
12-1-2004

Antwoord

Je eerste vraag is een voorbeeld van een differentiaal vergelijking waarvan je de oplossing kan bepalen door het scheiden van de veranderlijken.
(1/x)y'=1/y $\Leftrightarrow$ yy'=x $\Leftrightarrow$ydy = xdx $\Leftrightarrow\int{}$ydy = $\int{}$xdx $\Leftrightarrow$ y²=x²+C
Beginvoorwaarde y(1)=2 i.e. voor x=1 is y=2, en y²=x²+C
dus: 4=1+C $\Leftrightarrow$ C=3
$\Rightarrow$ de algemene oplossing is y²=x²+3
Dus antwoord a

Je tweede vraag is een voorbeeld van een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten.
Hierbij moet je eerst de karakteristieke vergelijking opstellen volgens de regel y⁽ⁿ⁾=sⁿ.
Dus n-de afgeleide vervangen door sⁿ en nulde afgeleide is de functie zelf.
Van de veelterm is s die onstaat bereken je de nulpunten.
Dus: s²+s-2=0 $\Leftrightarrow$ (s-1)(s+2)=0 $\Leftrightarrow$ s=1 of s=-2
Algemene Oplossing: y=C₁e^x+C₂e^-2x
Dus antwoord b.

Een particuliere oplossing heeft altijd de vorm van het rechterlid alleen voorzien van onbepaalde coëfficiënten.
Staat in het rechterlid een sinus functie dan staat er in de P.O ook een sinusfunctie. Maar aangezien de afgeleide van een sinus een cosinus is, mag ook de cosinus niet ontbreken.
Je kan in het voorstel voor een P.O. de ene niet zonder de andere laten voorkomen.
Dus hier A sin(x)+B cos(x) is de juiste oplossing.


zie ook:Websites over differentiaalvergelijkingen

Mvg,

Els
13-1-2004