WisFaq!

Rij van n opeenvolgende niet-kwadraatvrije getallen construeren

Hallo,

Hoe bewijs ik dat er een willekeurige lange rij opeenvolgende gehele getallen bestaat die elk deelbaar zijn door een kwadraat groter dan 1?

piet
12-1-2004

Antwoord

Hoi,

Voor de duidelijkheid: het is niet zo dat er een kwadraat moet bestaan dat elk van die opeenvolgende getallen deelt, wel dat er voor elk getal een kwadraat kan gevonden worden dat het deelt.

We willen dus n opeenvolgende getallen bepalen zodat elk ervan deelbaar is door een volkomen kwadraat.

Kies n willekeurige, verschillende priemgetallen p_i zodat p²_in voor i=1..n.
We zoeken een getal m zodat m=i (mod p²_i) voor i=1..n.
Alle n opeenvolgende getallen m-i zijn dan deelbaar door een kwadraat, namelijk p²_i.

Noem p=prod(p_i,i=1..n) en m_i=(p/p_i)² voor i=1..n.
Elke m_i is dus het product van de kwadraten van alle gekozen priemgetallen, behalve van p_i.

We proberen dan coëfficiënten a_i te bepalen zodat m=sum(a_i.m_i,i=1..n).
We hebben dat m (mod p²_i)=a_i.m_i omdat p²_i|m_j voor j¹i.
We willen dat m=i (mod p²_i) en we weten dat ggd(m_i,p²_i)=1, zodat er een inverse bestaat voor m_i (mod p²_i).
We vinden dus dat a_i=i.m^-1_i (mod p²_i) voor i=1..n voldoet om een gepaste m te construeren. Met die m vinden we dus n opeenvolgende getallen m-n, m-(n-1), ..., m-2, m-1 die stuk voor stuk een kwadraat bevatten.

Groetjes,
Johan

andros
14-1-2004