WisFaq!

De minimale hoeveelheid karton berekenen van een balk met onbekende zijdes

Hallo,
Voor een wiskundige opdracht is het de bedoeling om het minimale hoeveelheid karton te berekenen die nodig is om een een balk met een inhoud van 1 liter en met een onbekende lengte, breedte en hoogte te maken. De bedoeling is dat je hier door middel van een aantal vragen antwoord op kan geven. Ik heb deze vragen gemaakt. Uiteindelijk kom ik op een fout antwoord uit, maar ik heb geen idee waar deze fout zit. Zouden jullie hier mij kunnen helpen. Hieronder staan mijn berekeningen.

Alvast bedankt,
KH

De oppervlakte van de balk:
Oppervlakte = ( B + L ) x ( B + H )
= B2 + BH + BL + HL

H uitdrukken in L en B:
Gegeven is:
Inhoud = B x L x H
Inhoud = 1000 cm3
H = 1000 / ( B x L )

Substitutie van H in de oppervlakte formule:
Oppervlakte = B2 + B x ( 1000 / ( B x L )) + BL + ( 1000 / ( B x L )) x L
= B2 + 1000 / L + BL + 1000 / B

B = 7, de oppervlakte formule komt er als volgt uit te zien:
1343 / 7 + 1000 / L + 7 L

De afgeleide van de oppervlakte formule met B = 7 cm:
(- 1000 / L2 )+ 7

De afgeleide gelijk stellen aan nul en L berekenen:
(- 1000 / L2 ) + 7 = 0
-1000 / L2 = -7
L2 = -1000 / -7
L = 11,95 cm

De minimale hoeveelheid karton bereken:
Oppervlakte = 72 + 7 x ( 1000 / ( 7 x 11,95 )) + 7 x 11,95 + ( 1000 / ( 7 x 11,95 )) x 11,95
= 1216,33 cm2

De afgeleide berekenen bij een vaste breedte van b cm:
(- 1000 / L2 ) + b = 0
-1000 / L2 = - b
L = √(1000 / b)

De afgeleide bij een vaste lengte van 1 cm:
Oppervlakte = B2 + 1000 + B + 1000 / B
Oppervlakte ‘ = 2B – (1000 / B2 ) + 1
2B – (1000 / B2 ) + 1 = 0
2B = 1000 / B2 – 1
B = 500 / B2 – ¹/₂
B3 = 500 – ¹/₂ B2

Bij een minimale hoeveelheid karton moeten beide afgeleides nul zijn. Hieruit kun je de optimale afmetingen berekenen.

L’ = (1000 / B)
0 = (1000 / B)
0 = 1000 / B
Kan niet!

Opp’ = B3 + ¹/₂ B2 – 500
0 = B3 + ¹/₂ B2 – 500
500 = B3 + ¹/₂ B2

Calc 2: Zero

B = 7.7737894

B2 + 1000 / L + BL + 1000 / B
7,77378942 + 1000 / L + 7,7737894L + 1000 / 7,7737894
60,43180164 + 1000 / L + 7,7737894L + 1000 / 7,7737894
-189,0691944 = 1000 / L + 7,7737894L
-189,0691944L = 1000 + 7,7737894L2
-24,32136821L = 128,6373927 + L2

L2 + 24,3213621L + 128,6373977
ABC formule levert L1 = -16,547556672 en L2 = -7,773795378

KH
10-1-2004

Antwoord

De fout zit helemaal in het begin!
De formule voor de oppervlakte van het pak.
Het pak is een balk met afmetingen L,B en H.
Grondvlak en bovenvlak: L.B+L.B=2LB
Zijvlak voor en achter: L.H+L.H=2LH
Zijvlak links en rects: B.H+B.H=2BH
Samen dus Oppervlak=2LB+2LH+2BH

Oppervlak uigedrukt in B en L wordt dan 2BL+2000/B+2000/L
Afgeleide naar L met B constant wordt dan 2B-2000/L²
Nulstellen levert B=1000/L²

Afgeleide naar B met L constant wordt dan 2L-2000/B²
Nulstellen levert L=1000/B²

Beide moeten gelden dus
B=1000/L²=1000/(1000²/B⁴)
dus B=1000·B⁴/1000²=B⁴/1000
Dus B³=1000, dus B=³√1000=10.

Dit klopt natuurlijk want de balk met kleinste oppervlakte bij gegeven inhoud is een kubus.
Een kubus met inhoud 1000 heeft ribbe ³√1000=10.

hk
10-1-2004