WisFaq!

Quotiëntverzameling

Hoi allemaal.
Kan mij iemand in lekentaal uitleggen wat de quotiëntverzameling is (bij equivalentierelatie)? En waarom wordt die als volgt genoteerd als de verzameling is bv. A en de equivalentierelatie ~: A/~?

Bedankt!

Slash
9-1-2004

Antwoord

Hoi,

Je begint met een verzameling A, bijvoorbeeld van de gehele getallen. Daarnaast heb je een equivalentie-relatie ~ nodig en als voorbeeld kunnen we gebruiken:
~: a~b Û a en b geven dezelfde rest bij deling door 5. Dan hebben we bijvoorbeeld 11~6 omdat beide rest 1 hebben bij delen door 5.

Ons voorbeeld ~ voldoet aan de vereiste eigenschappen voor een equivalentie-relatie: reflexief, symmetrisch en transitief. Ga maar na.

Precies omdat het een equivalentie-relatie is, zal ~ de verzameling in klassen verdelen, namelijk die van alle getallen die eenzelfde rest bij deling door 5 hebben. We kunnen zo 5 klassen onderscheiden, naargelang de rest bij deling door 5 ofwel 0,1,2,3 of 4 is. We noteren deze klassen: A₀, A₁, A₂, A₃ en A₄. We hebben bijvoorbeeld: A₁={...,-14,-9,-4,1,6,11,16,21,26,...}. Elk van die klassen is zelf dus een verzameling, namelijk van gehele getallen die eenzelfde rest bij deling door 5 geven. Je gaat na dat geen enkele klasse leeg is en dat ze samenstellen tot . Met andere woorden: elk geheel getal valt in precies één van die 5 klassen. Dit zijn belangrijke eigenschappen van equivalentie-klassen.

De quotiënt-verzameling is de verzameling van alle klassen en we noteren ze /~ (we delen als het ware op in klassen met behulp van ~, vandaar wellicht die notatie met /). Dus: /~={A₀, A₁, A₂, A₃,A₄}. Aangezien de elementen ervan zelf verzamelingen zijn, is de quotiënt-verzameling dus een verzameling van verzamelingen.

Groetjes,
Johan

andros
9-1-2004