WisFaq!

e^-x

Hallo,

Kan er mij iemand uitleggen waarom
e^-x = lim (1-x/N)^N met N $\to\infty$ ?

Alvast bedankt !

tim
8-1-2004

Antwoord

Eigenlijk kun je gebruik maken van de standaardlimiet
e^x=lim(1+x/n)ⁿ met n-$>\infty$.
Vervang x door -x en klaar is Klara.

Deze standaardlimiet kun je op de volgende manier aannemelijk maken.
Bekijk de functie f(x)=e^x.
De afgeleide f'x)=e^x.
f(0)=1 en f'(0)=1, dus de raaklijn in (0,1) heeft vergelijking y=x+1.
Voor een getal h dicht bij nul geldt dus bij benadering
e^h~1+h.
Kies nu h=x/n met n heel groot dan geldt ook h dicht bij nul.
Invullen levert e^(x/n)~1+x/n.
Links en rechts de n-de macht nemen levert e^x~(1+x/n)ⁿ.
Conclusie e^x=lim(1+x/n)ⁿ als n-$>\infty$
Dus ook e^-x=lim(1-x/n)ⁿ als n-$>\infty$

hk
8-1-2004