WisFaq!

Verzameling T

Ik heb de volgende vragen

Laat A een matrix zijn en b een vector. We weten AÎ^5×9 en bÎⁿ voor zekere
nÎ.

We definieren T := {xÎ⁹;Ax = b}. We weten dat T niet leeg is.
Vraag: wat is n?

We weten ook dat V een vierkante matrix is en dat VA bestaat. We definieren S := {xÎ⁹;VAx = Vb}.

Vraag: wat kunt u zeggen over het verband tussen de verzameling T en de verzameling S?

De eerste vraag kan ik nog wel beantwoorden. n is volgens mij namelijk 5. De laatste vraag begrijp ik alleen niet.

Alvast bedankt!

Bart
7-1-2004

Antwoord

Hoi,

Je kan twee matrices enkel vermenigvuldigen met elkaar als het aantal kolommen van de linkse gelijk is aan het aantal rijen van de rechtse.

A heeft dimensie 5x9 en x dimensie 9x1. A.x heeft dus dimensie 5x1. Hiermee ken je inderdaad je n.

Om eenzelfde reden moet V dimensie 5x5 hebben.

Het verband tussen T en S dan. Als xÎT, dan is A.x=b en dus ook V.A.x=V.b, zodat xÎS. Dus is TÌS.

Omgekeerd als xÎS, dan weten we dat V.A.x=V.b. Als det(V)¹0, dan bestaat V^-1, zodat V^-1.V.A.x=V^-1.V.b en dus A.x=b, zodat xÎT en SÌT.
Als det(V)=0, dan kunnen we niet zomaar afleiden dat A.x=b of dat xÎT. Onder 'bepaalde' voorwaarden voor rang(V.A) en rang (V.A|V.b) zou A.x-b=y¹0 kunnen zijn, terwijl V.y=0. Die x'en zitten dan in S, maar niet in T. Lijkt me beetje ver gezocht...

Samengevat: Als det(V)¹0, is S=T. Als det(V)=0, dan is TÌS, maar niet noodzakelijk SÌT (alhoewel het wel kan).

Groetjes,
Johan

andros
7-1-2004