WisFaq!

Modulo rekening

hoi,
Ik ben 1e graad student en ik heb een vraag over een stelsel vergelijking over modulo. Ik heb geen idee hoe ik moet beginnen. Zou u me even kunnen helpen?
Los op:
2x+3y $\equiv$ 2 mod 101
x+5y $\equiv$ 6 mod 101

Groejtes, Berthson

Berthson
6-1-2004

Antwoord

Hou rekening met volgende rekenregels: (ze zijn heel eenvoudig te bewijzen uit de definitie van modulo)

a $\equiv$ b mod p $\Leftrightarrow$ a $\equiv$ b+r·p mod p voor een zekere r
a $\equiv$ b mod p en c $\equiv$ d mod p $\Leftrightarrow$ a+c $\equiv$ b+d mod p en a-c $\equiv$ b-d mod p

Als ac$\equiv$bc mod m en d = ggd(c,m) dan is a$\equiv$b mod ^m/_d

En dan gewoon stelsels oplossen:

2x + 3y $\equiv$ 2 mod 101
x + 5y $\equiv$ 6 mod 101
$\Leftrightarrow$
2x + 3y $\equiv$ 2 mod 101
-2x - 10y $\equiv$ 12 mod 101
$\Leftrightarrow$
-7y $\equiv$ -10 mod 101
-2x - 10y $\equiv$ 12 mod 101
$\Leftrightarrow$
x + 5y $\equiv$ 6 mod 101
7y $\equiv$ 10 mod 101 $\equiv$ 616 mod 101
(anders kan je niet delen door 7 in de ring van gehele getallen)
$\Leftrightarrow$
x + 5y $\equiv$ 6 mod 101
y $\equiv$ 88 mod 101
$\Leftrightarrow$
x $\equiv$ 6-5·88 mod 101 = -434 mod 101 = -30 mod 101
y $\equiv$ 88 mod 101
$\Leftrightarrow$
x $\equiv$ 71 mod 101
y $\equiv$ 88 mod 101
$\Leftrightarrow$
x = p·101 + 71
y = q·101 + 88

Mvg,

Els
7-1-2004