WisFaq!

Rangnummer formule bij Recursie vergelijking

Ik heb een recursievergelijking:

U_n=U_n-1+n met U₁=1

De verschilrij is $\Delta$U_n=$\Delta$U_n-1 + 1

Nu moet ik de rangnummer formule geven, maar ik kom er niet uit, aangezien de rede met iedere term 1 toeneemt:

$\Delta$U₁=1
$\Delta$U₂=2
$\Delta$U₃=3
$\Delta$U₄=4

Ralf Boland
6-1-2004

Antwoord

Hoi,

$\Delta$U_i=i en $\Delta$U_i=U_i-U_i-1 met $\Delta$U₁=U₁.

Uitschrijven geeft:
$\Delta$U₁=U₁=1
$\Delta$U₂=U₂-U₁=2
$\Delta$U₃=U₃-U₂=3
...
$\Delta$U_i=U_i-U_i-1=i
...
$\Delta$U_n-1=U_n-1-U_n-2=n-1
$\Delta$U_n=U_n-U_n-1=n

Alles optellen en schrappen waar mogelijk:
sum($\Delta$U_i:i=1..n)=U_n=sum(i:i=1..n)

Wellicht herken je sum(i:i=1..n). Zoniet, bedenk dan dat als S=1+2+...+(n-1)+n, dat ook S=n+(n-1)+...+1. Term per term optellen levert 2.S=(1+n)+(2+(n-1))+...+(n+1)=n.(n+1) en dus: S=n.(n+1)/2.

Groetjes,
Johan

andros
6-1-2004