WisFaq!

Lim van xcotg(2x) met x--> 0

lim x.cotg 2x
x-0

Ik heb geprobeerd deze limiet op te lossen met de regel van l'Hopital. Zonder resultaat ...
De uitkomst zou 1/2 zijn ...

Alvast bedankt

Dubois Ilse
6-1-2004

Antwoord

Hallo Ilse,

De limiet geeft 0*¥, dus inderdaad een onbepaaldheid die met de regel van de l'Hôpital kan worden weggewerkt.

Maar dan moet je wel eerst de opgave als een quotiënt schrijven dat 0/0 of ¥/¥ oplevert.

Dus hier kan je ipv x*cotg(2x) schrijven:
x/tg(2x)

Afleiden van teller en noemer geeft dan wegens de kettingregel:
1/(2/cos²(2x))
dus inderdaad 1/2 wanneer je x=0 invult.

Als je het anders had aangepakt, en de x naar de noemer verplaatst, kwam je op:
cotg(2x) / (1/x)

De l'Hôpital levert dan: (-2/sin²(2x)) / (-1/x²)
= 2x² / sin²(2x)
= (0/0)
= 4x / 2*2sin(2x)cos(2x) (Hôp.+kettingregel)
= 4x / 2sin(4x) (dubbelehoekformule)
= (0/0)
= 4 / 8cos(4x) (Hôp.+kettingregel)
= 4/8
= 1/2 en dat was dus ietsje meer werk...

(en er moet natuurlijk overal nog lim_x®0 voor)

Groeten,

Christophe
6-1-2004