WisFaq!

Functie met parameter

Gegeven: ¦p: -0,25x²+px+3p-4
a) Voor welke p heeft de grafiek van ¦p geen punten met de x-as gemeenschappelijk?

Zelf dacht ik dat dan D0 en dan krijg ik P²+3p-4
Het antwoord is -4p1 maar hoe komen ze hieraan?

b) Voor welke p ligt de top van de grafiek van ¦p op de kromme K: x+2=2Öy?

Het antwoord is 5 maar ook hier weet ik niet hoe ze eraan komen.

Zou iemand mij kunnen helpen?
Alvast bedankt.
Liefs Amy

Amy Waalre
5-1-2004

Antwoord

De grafiek van de gegeven functie is voor iedere waarde van p een bergparabool. Als deze de x-as niet mag snijden, dan moet inderdaad D 0 zijn.
D = p² - 4.-0,25.(3p-4) = p² + 3p - 4, precies zoals je schrijft.
Wanneer is dit nu negatief?
Meestal doet men dit door een zogenaamd tekenschema te maken.
Kijk eerst wanneer D = 0, ofwel wanneer (p + 4)(p - 1) = 0.
Dat levert op p = 1 resp. p = -4
Neem nu een willekeurig getal boven p = 1 en vul dat in D in. Als je bijv. p = 10 neemt, dan blijkt D positief te zijn.
Neem nu een p tussen -4 en 1, bijvoorbeeld p = 0. Invullen in D geeft direct dat D = -4, dus negatief.
Ten slotte een p beneden -4 kiezen, bijvoorbeeld p = -10.
Invullen in D geeft weer een positieve uitkomst.
Je ziet nu dat alleen de keuze tussen -4 en 1 tot iets negatiefs leidde, vandaar het gegeven antwoord.

De top heeft een x-coördinaat die wordt gegeven door x = -b/2a = -p/-0,5 = 2p. Invullen in de formule van f geeft de bijbehorende y-coördinaat. Je vindt f(2p) = -0,25.(2p)² + p.2p + 3p - 4 = -p² + 2p² + 3p - 4 = p² + 3p - 4

De top heeft dus de coördinaten (2p , p² + 3p - 4).
Dit punt moet nu op de gegeven kromme liggen, hetgeen betekent dat 2p + 2 = 2Ö(p² + 3p - 4)
Je kunt door 2 delen en vervolgens kwadrateren.

MBL
5-1-2004