WisFaq!

Bewijzen van een identiteit

De opgave is: Bewijs dat: A x0: 1 - x + x²/2 -x³/6 e^-x 1 - x + x²/2

Ik probeerde dit aan te tonen door de twee aparte ongelijkheden te nemen, en vervolgens aan te tonen dat de functie monotoon is (dus afgeleide strikt positief of negatief)en een boven- of ondergrens te bepalen, nu heb ik een probleem bij het oplossen van deze vergelijkingen:

f'(x) = -1 +x -x²/2 + e^-x = som van DRIE tot oneindig van (-x)^k/k!

hoe kan ik nu aantonen dat dit strikt positief (of negatief-wat ik niet echt verwacht) is?
Als je de eerste waarden van de reeksontwikkeling van e^x weglaat, ben je er dan nog zeker van dat de reeks positief is?

Mvg,

Wannes

Wannes
2-1-2004

Antwoord

Hallo Wannes,

Laat f[x]=1-x+x²/2-x³/6 en g[x]=e^-x
Nu geldt f[0]=1 en g[0]=1.
Dus de grafieken van beide functies gaan door de twee punten [0,1].Nu wat je kan proberen is bewijzen dat de functie g[x] sterker stijgt dan f[x] voor x0.Dus je moet bewijzen g'[x]f'[x].

Er geldt g'[x]=-e^-x, f'[x]=-1+x-x²/2.Zo te zien ben je daar gebleven,wat je nu kan proberen is dezelfde toe te passen als boven,er geldt nl. g'[0]=f'[0]=-1.
Dus de grafieken van beide functies gaan door de twee punten [0,-1],en dus wat je moet bewijzen is g''[x]f''[x] voor x0.
g''[x]=e^-x en f''[x]=1-x.

Weer bovenstaande procedure: er geldt g''[0]=f''[0]=1,dus te bewijzen dat g'''[x]f'''[x] voor x0.
g'''[x]=-e^-x en f'''[x]=-1.

Laatste keer toepassen geeft: g'''[0]=f'''[0]=-1 en dus te bewijzen g''''[x]f''''[x] voor x0.
g''''[x]=e^-x en f''''[x]=0.Er geldt algemeen e^p0 en dus g''''[x]f''''[x] voor x0.Hieruit vogt dat g[x]'''f[x]''' voor x0,want immers beiden gaan door het punt [0,-1].En dus g''[x]f''[x] want ........enz.tot g[x]f[x].

Wat ik nu heb toegepast kan je dezelfde doen voor de rechter gedeelte van de ongelijkheid.

CW
3-1-2004