WisFaq!

Lastige breukspitsing met cos

Ik heb een lastige primitieve die ik moet uitrekenen met behulp van primitiveren en breukslitsing.
Dit is de opgave:
1/(cos(q)*(1+sin(q)).

Hoe berekenen ik de primitieve (ik dacht zelf om substitutie toe te passen, maar heeft dit nut?)

Bij voorbaat dank
Erik

Erik
30-12-2003

Antwoord

Hoi,

Je moet I=òdx/[cos(x).(1+sin(x))] berekenen.
Welnu:
I=
òcos(x).dx/[cos²(x).(1+sin(x))]=
òd[sin(x)]/[(1-sin²(x)).(1+sin(x))]

De substitutie t=sin(x) ziet er dus goed uit!

I=
òdt/[(1-t²).(1+t)]=
òdt/[(1-t).(1+t)²]

Splitsen in partieelbreuken houdt in dat je a, b en c berekent zodat:
f(t)=1/[(1-t).(1+t)²]=a/(1-t)+b/(1+t)+c/(1+t)².
(tip: a=lim((1-t).f(t),t®1) en c=lim((1+t)².f(t),t®-1))

Daarna wordt I berekenen kinderspel. Nu aan jou!

Groetjes,
Johan

PS:

andros
30-12-2003