WisFaq!

Continuïteit

hallo,

bij de propositie;

besschouw een deelverzameling A van of
stel dan f,g:A®. Definieer een functie fg:A® door (fg)(x)=f(x)g(x).
stel aÎA.
Als f en g continu zijn in a, dan is ook fg continu in a

hebben we dit bewezen, en hier stoote ik op iets wat ik niet begrijp...

bewijs;

Kies e0
voor elke xÎA geldt dan dat
|(fg)(x)-(fg)(a)|=|f(x)g(x)-f(a)g(a)|
|f(x)g(x)-f(x)g(a)|+|f(x)g(a)-f(a)g(a)|
=|f(x)||g(x)-g(a)|+|f(x)-f(a)||g(a)|
Kies dan d10 zodat uit xÎA en |x-a|d1 volgt dat |f(x)-f(a)|1

........

dit bewijs is nog niet af hoor, maar hier bij die laatste regel snap ik het even niet, waarom moet het hier
|f(x)-f(a)|1 zijn en niet gewoon |f(x)-f(a)|e????

Dank je wel alvast!!!

greetzzzz
Lynn (ja ik weet het, WEERAL )

Lynn Adriaenssens
29-12-2003

Antwoord

Hallo Lynn,

Uit de continuïteit van f weet je dat er VOOR ELKE e₁0 een d₁0 bestaat zodanig dat:
als |x-a|d₁ dan |f(x)-f(a)|e₁

Voor elke e₁! Maw je mag ook gewoon e₁=1 kiezen. En bij die specifieke keuze kan je dus, wegens bovenstaande definitie, een d₁ vinden.

Rest de vraag: waarom wordt hier die keuze gemaakt? Wel, allicht is in het vervolg van het bewijs niet nodig dat |f(x)-f(a)| willekeurig klein wordt en is het voldoende dat het kleiner dan 1 blijkt te zijn.

Groeten,

Christophe
29-12-2003