WisFaq!

Het inproduct en de projectie van een vector op een andere

Hallo,

Wie kan mij even helpen? Het gaat over twee dingen: enerzijds het inproduct en anderzijds de projectie van een vector op een andere. Ik heb twee links aangemaakt en hoop mij daar wat in te verduidelijken.

Ik dank u bij voorbaat en wens u een zalige kerst en een fijn 2004.

Groeten.

Bert
24-12-2003

Antwoord

Hoi,

Op de sites die je vermeldt, vind ik volgende vragen:
1. Wat is het inproduct van 2 vectoren?
2. Op welke (2) manieren kan je het berekenen?
3. Kan je dit grafisch voorstellen (in een assenkruis)?
4. Hoe kan je een vector 'projecteren' op een andere?
5. Wat is het verband tussen die projectie en het inproduct?

Gegeven 2 vectoren a en b (boven a en b zouden eigenlijk streepjes of pijltjes moeten staan, maar dat lukt niet zo goed via het internet. Daarom zet ik vectoren vetjes). Die vectoren zijn volledig willekeurig en moeten helemaal niet evenwijdig zijn aan de eenheidsvectoren van het assenkruis.

Het inproduct a.b is inderdaad een reëel getal, in tegenstelling tot de scalaire vermenigvuldiging k.a waarbij k een reëel getal is en k.a een vector. Je zou ook kunnen zeggen dat a.b een 'scalair' is, maar dit is niet zo gangbaar in het Nederlandse taalgebied. Om het helemaal mooi te maken spreken we soms van het scalair product van a en b als sy_noniem voor het inproduct... Samengevat zou ik het woord 'scalair' niet gebruiken wegens te verwarrend...

Je haalde volgende formule aan: a.b=|a|.|b|.cos($\phi$) waarbij $\phi$ de hoek is tussen a en b. Op bijgaande figuur zie je dat |a|.cos($\phi$)=|oa'|. Hierin is a' de loodrechte (orthogonale) projectie van a op b (in de contect van vectoren lijkt de loodrechte projectie me het meest gebruikelijk). Hiermee heb je het verband tussen het inproduct en de loodrechte projectie. Let wel: het gaat om een loodrechte projectie. Het doet er dan niet toe of vector oa' kleiner of groter is dan b. Desnoods ligt a' op het 'verlengde' ervan.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Je vroeg ook waar dit inproduct ergens te zien is op het assenkruis. We weten al dat a.b=|oa'|.|b|. Als je dus een rechthoek zou maken met lengte |oa'| en breedte |b|, dan zou je het inproduct kunnen voorstellen als de oppervlakte van die rechthoek. Iets anders kan je er niet in vinden vrees ik...

Kan je ook inzien met behulp van die meetkundige voorstelling dat a.b=b.a?

Een tweede formule voor het inproduct van a en b is die waarbij we coördinaten gebruiken. Nemen we a(x_a,y_a) en b(x_b,y_b), dan geldt: a.b=x_a.x_b+y_a.y_b.

Ik hoop dat dit je vragen beantwoord, anders reageer je maar. Ook Prettige Feesten namens het WisFAQ-team!

Groetjes,
Johan

andros
26-12-2003