WisFaq!

Kwadraat van een determinant

bij het studeren voor mijn examen wiskunde krijg ik ergens tussen mijn oefeningen de volgende vraag:

1a:
Schrijf het kwadraat van de determinant
|a...b|
|x...y|
opnieuw als een determinant van de 2e orde.
1b:
leid hieruit de volgende betrekking af:
(a² + b²) * (x² + y²)= (ax + by)² + (ay - bx)²
------

nu een determinant van de 2e orde is gewoon een determinant van een 2x2-matrix. en als "kwadraat van de determinant" heb ik:
a²y² - 2abxy + b²x².

hoe bedoelen ze dat ik de matrix zou moeten opstellen.
of bedoelen ze gewoon de determinant:
|(ax+by)...-(ay-bx)|
|(ay-bx)....(ax+by)|
dewelke ik eigenlijk uit de conclusie heb gehaald.

Dehaes Thorsten
24-12-2003

Antwoord

Hoi,

Neem matrix A=[[a b][x y]]
Dan is det(A)=ay-bx en det(A.A^t)=det(A).det(A)=(ay-bx)².
We weten ook dat A.A^t=[[a²+b² ax+by][ax+by x²+y²]] en dan zijn we er...

Bemerk dat deze eigenschap nuttig is wanneer je Pythagorische drietallen bestudeert. Als 2 gehelen getallen c en z de eigenschap hebben dat c² en z² beide te schrijven zijn als een som van gehele kwadraten, dan geldt dat ook voor c.z. Het is dus interessant te bekijken voor welke priemgetallen p we gehelen a en b kunnen vinden zodat p²=a²+b²...

Groetjes,
Johan

andros
24-12-2003