WisFaq!

Re: Primitieve elementen in eindige lichamen

Hartstikke bedankt voor het snelle antwoord..

Ik begrijp dat het wel mogelijk is om het met brute force uit te rekeken. Stel dat nu a en b beide primitieve elementen zijn van GF(27) is het dan zo dat de twee verzamelingen van alle elementen die beide produceren (alle achtereenvolgende machten tot 27-1) hetzelfde zijn ? (of is deze vraag echt heel triviaal...)

Ik heb inmiddels de hele tabel van GF(27) met a=X uitgeschreven en er zitten inderdaad geen zelfde elementen bij. Hoe kan ik nu uit deze tabel alle 12 primitieve elementen halen? Ik heb bijvoorbeeld bij a¹⁰ X+X² als antwoord. Dit is te delen in: X(1+X), dus dat is geen primitief element.. ?

dankje!

Ron
15-12-2003

Antwoord

Je GF(27) bestaat enkel uit de nul, plus die 26 elementen X, X², X³=X-1,..., X²⁶=1.

Dus als je met X begint, of met een ander primitief element (zoals ik vermoed dat X-1 er één is), dan moet je dezelfde verzameling uitkomen.

Misschien krijg je als volgt meer inzicht in de structuur: bekijk een element a waarvan je wil nagaan of het primitief is. Je weet dat X primitief is, dus a=Xⁿ voor een zekere n.

a zal nu primitief zijn als alle 26 machten van a een verschillend resultaat opleveren. Dus als alle 26 machten van Xⁿ verschillend zijn...

Maar vermits b²⁶=b⁰=1 komt dit neer op:
n, 2n, 3n, ..., 26n moeten verschillend zijn modulo 26.

En dat zal juist dan zo zijn, wanneer n onderling ondeelbaar is met 26. Kijk maar na, kies bv n=5. Dan worden de machten van X:
5,10,15,20,25,4,9,14,19,24,3,8,13,18,23,2,7,12,17,22,1,6,11,16,21,0.
Kies je daarentegen n=8 (niet onderling ondeelbaar), dan worden de machten van X:
8,16,24,6,14,22,4,12,20,2,10,18,0,8 en je komt dus geen verschillende waarden meer uit!

Zo zie je dat inderdaad X¹⁰ niet primitief is, maar of dat met die ontbinding te maken heeft...? Ik denk het niet, want bv X¹⁷=-X²+X=X(1-X). Bovendien kan je elk element schrijven als macht van X, dus heb je voor elk element een triviale ontbinding.

Voor dit voorbeeld zullen alle primitieve elementen dus alle oneven machten van X zijn, uitgezonderd X¹³=-1. En dit zijn er inderdaad 12, wat je correct hebt berekend met die Eulerfunctie.

Christophe
15-12-2003