WisFaq!

Reeksen

Bepaal de kleinste waarde van n waarvoor geldt:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n is een veelvoud van 1000

Wiskunde Olypiade eerste ronde vrijdag 17 januari 2003

Jannis Visser
13-12-2003

Antwoord

Hallo Jannis,

De formule voor de som van de eerste n natuurlijke getallen is:
n(n+1)/2
Dus moet gelden dat n(n+1) een 2000-voud is.
2000=2⁴*5³
Dus die n en die n+1 moeten 4 factoren '2' en 3 factoren '5' bevatten.

Maar als bijvoorbeeld n een tweevoud is, is n+1 dat zeker niet. En als n een vijfvoud is, dan is n+1 dat zeker niet. Dus moeten alle factoren '5' in ofwel n ofwel n+1 zitten, en alle factoren '2' moeten in ofwel n ofwel n+1 zitten.

Met andere woorden:
n of n+1 is een 125-voud
en
n of n+1 is een 16-voud.

En dan kan je best gewoon alle 125-vouden afgaan en zien of er vlak naast een 16-voud ligt.
125: neen, want noch 124 noch 126 is een 16-voud
250: neen, want...
375,500: neen
625: eureka! Dus n=624, n+1=625.

Groeten,
Christophe.

Christophe
14-12-2003