WisFaq!

Bol(2)

Ik heb op 7-12-2003 een vraag gesteld en daar binnen twee dagen antwoord op teruggekregen. Ik vind het wisfaq-team helemaal geweldig!!! Zo snel al kreeg ik antwoord!!!

Ik zit echter nog met dezelfde vraag, want volgens mij hebben jullie me verkeerd begrepen. Dit was mijn vraag:

Stel je hebt een bol en je tekent daar een cirkel op. Als ik de oppervlakte weet van die cirkel op de bol (dus een bolkap), kan ik dan ook berekenen wat de oppervlakte is van een "zeshoek" om die bolkap op de bol? Waarbij geldt dat de "zijden" van de "zeshoek" raken aan de bolkap.

p.s. in het platte vlak is het natuurlijk eenvoudig, maar is dat nou hetzelfde op een bol, ik denk het niet vandaar deze vraag

Ten eerste wilde ik duidelijk maken dat het om een regelmatige zeshoek gaat (maar dat hadden jullie wel goed begrepen). Ik moet de oppervlakte weten van een regelmatige zeshoek die op de bol ligt. Het is dus een deel van het boloppervlak (4pr²). En dat als ik weet wat de oppervlakte is van de bolkap die binnen deze zeshoek ligt, zoals ik in mijn eerste vraag al uitlegde. Bovendien weet ik de straal van de bol. Dus alles speelt zich eigenlijk af op het boloppervlak (dus aan de buitenkant).

Het is zeer belangrijk voor me, want het is voor mijn PWS.

p.s. het gaat dus om een regelmatige zeshoek met zijden die op de bol liggen, dus de zijden zijn niet recht!

Bij voorbaat dank

Arjun Sudan
11-12-2003

Antwoord

Hoi,

Na een aantal mails over en weer begrijp ik dat het je opdracht is om een aantal kleinere bollen perfect te laten aansluiten op een gegeven bol. Je aanpak bestond erin om via de oppervlaktes na te gaan of zo'n verdeling mogelijk is.

In een eerste benadering bekijken we de situatie voor de gegeven centrale bol met midden m en straal R en n kleinere bollen met straal r met middens in eenzelfde vlak als m.
Volgend plaatje schetst deze situatie voor n=7.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

We leiden makkelijk af:

Z_n=2.R·.sin($\pi$/n), r=Z_n/2 en R+r=R·. Na eliminatie van R· krijgen we de voorwaarde: r/(r+R)=sin($\pi$/n).
Omdat de situatie gelijkvormig is, nemen we $\lambda$=r/R. De voorwaarde is dan: $\lambda$/(1+$\lambda$)=sin($\pi$/n) of $\lambda$=sin($\pi$/n)/[1-sin($\pi$/n)]. Voor n=6, vinden we $\lambda$=1, zoals verwacht...

Voor even n zijn er ook aansluitingen waarbij je afwisselend een midden boven en onder een vlak door m neemt, telkens op een zelfde afstand d van dit vlak. Dit zou je nog meetkundig kunnen aanpakken.

Als je de bol helemaal wil 'versieren' met aansluitende kleinere bollen, dan pak je het best algebraïsch aan. Je moet dan n punten v_i(x_i,y_i,z_i) bepalen die aan een hele serie afstandsvoorwaarden moeten voldoen... Voor n=12 merkte je terecht op dat we met 12 bollen kunnen rondkomen (6 in zelfde vlak als m, 3 erbovenop en 3 eronder)... Voor n=4 zal je ook wel iets kunnen berekenen, voor andere waarden van n staat de vraag open...

Je kan ook eens zoeken op deze site op 'Bolstapeling'. Dan kan je misschien nog wat inspiratie opdoen.

Groetjes,
Johan

andros
23-12-2003