WisFaq!

Re: Verschilrij van Fibonacci

Hallo,

Ik heb de zelfde opdracht gekregen voor wiskunde, en ik heb dit antwoord gevonden. Ik heb wiskunde A₁ en wat je hebt geschreven als antwoord is echt geheimtaal voor mij. Zouden jullie het misschien op een WA₁ manier uit kunnen leggen?

bvd,
groetjes
inge

Inge van Oosteren
11-12-2003

Antwoord

Beste Inge,

Je hebt de gewone Fibonacci-rij U(n): 1 1 2 3 5 8 ...

Kijk je naar de verschilrij V(n), dan lijkt die daar wel heel veel op: 0 1 1 2 3 5 ....

Je zou kunnen denken dat de verschilrij weer een Fibonaccirij is, maar die een stap achter loopt. Dus je zou kunnen denken dat V(n) = U(n-1).

Terug naar de Fibonacci-rij. Die is gedefinieerd met een recursieve formule:

U(n) = U(n-1) + U(n-2)
U(1) = 1
U(2) = 1

Ga je naar de verschilrij kijken, dan is die vanwege de definitie van een verschilrij:

V(n) = U(n+1) - U(n) [*]

We gaan nu de recursie van U toepassen, door U(n+1) = U(n) + U(n-1) en U(n) = U(n-1) + U(n-2) te substitueren in [*]. Je krijgt:

V(n) = U(n) + U(n-1) - ( U(n-1) + U(n-2) )

Met wat herschikken wordt dit

V(n) = U(n) - U(n-1) + U(n-1) - U(n-2)

En omdat V(n-1) = U(n) - U(n-1) en V(n-2) = U(n-1) - U(n-2) kunnen we hier weer van maken

V(n) = V(n-1) + V(n-2).

Kortom, de verschilrij voldoet aan dezelfde soort recursie als de Fibonacci-rij zelf. Door het bekijken van de beginwaarden zien we dat inderdaad de verschilrij dezelfde rij is als de Fibonacci-rij, maar dan een plaats opgeschoven.

FvL
11-12-2003