WisFaq!

Het dobbelsteen en munten spel

Dit is een opgave waar ik niet uitkom, het is gebaseerd op een simpel spelletje:

Persoon A: 6 munten
Persoon B: 1 munt

Men gaat nu een dobbelsteen gooien, bij 1,2,3,4 geeft Persoon A één munt aan Persoon B en bij 5,6 geeft Persoon B één munt aan Persoon A. Als iemand geen munten meer heeft dan heeft hij het spel verloren.

® Hoe groot is de kans dat Persoon A wint?

Ik heb vernomen dat de uitkomst 49,6% is, maar geen van mijn probeersels komen ook maar in de buurt van dit getal . Hopelijk kunnen jullie me helpen.

Marco Veenstra
10-12-2003

Antwoord

Dit probleem heeft veel weg van deze vraag en de oplossing hier is dan ook sterk gelijkend op de alternatieve oplossing die ik onderaan de genoemde vraag heb gezet.

Noem p(i) de kans dat persoon A uiteindelijk wint, als hij begint met i munten. Er gelden dan de volgende relaties

p(i) = (1/3)p(i+1) + (2/3)p(i-1)

voor i=1..6 als je p(0)=0 (A kan niet winnen zonder munten, want dan is het spel al afgelopen) en p(7)=1 (A is zeker gewonnen met 7 munten in het bezit) definieert. Je bekomt de vergelijkingen door een stap verder te redeneren: de kans dat speler A wint in een bepaalde situatie is de gewogen som van de kansen die hij heeft in de mogelijke opvolgers van deze situatie.

Bovenstaande geeft dan 6 vergelijkingen in 6 onbekenden en dat is oplosbaar met de gebruikelijke technieken, al kost het misschien een beetje meer "rekenmoeite" dan je gewend bent.

De oplossing is dan

p(1)=1/127
p(2)=3/127
p(3)=7/127
p(4)=15/127
p(5)=31/127
p(6)=63/127

De door jou gevraagde probabiliteit is dus p(6), de kans dat A wint als deze met 6 munten begint

p(6) = 63/127 49,6063%

PS : Je kan dit ook schrijven als p(i)=(2ⁱ-1)/(2⁷-1) (het is ook mooi dat dit ook geldt voor p(0) en p(7)!), en gelijkaardige problemen zullen steeds een oplossing van dergelijke vorm vertonen. Je kan zelf eens het op dezelfde manier het algemene probleem aanpakken, met N mogelijke toestanden en overgangsprobabiliteiten p en q=1-p.

cl
11-12-2003