WisFaq!

Examenvraag die ik niet snap

Hoi!!!
Ik had dus vandaag examen. nu was er daar één vraag die ik nog steeds nie snap. Gewoon uit nieuwsgierigheid zou ik wel eens willen weten hoe ik dat moet oplossen...
Een matrix A is scheefsymmetrisch en congruent met de Matrix B. Bewijs da de matrix B ook scheefsymmetrisch is als B van een oneven rang is.
Alvast bedankt!
Tamara

Tamara
10-12-2003

Antwoord

A is scheefsymmetrisch dus A^T = -A
B is congruent met A dus er bestaat een matrix P waarvoor B = P^T.A.P
Is B nu ook scheefsymmetrisch? Is met andere woorden B^T = -B?

B^T
= (P^T.A.P)^T
= P^T.A^T.(P^T)^T (getransponeerde van een produkt: omgekeerde volgorde!)
= P^T.A^T.P (twee keer transponeren is niks doen)
= P^T.(-A).P (A is scheefsymmetrisch)
= -P^T.A.P
= -B

B is dus ook scheefsymmetrisch en de rang van B zit daar voor NIKS tussen!

cl
10-12-2003