WisFaq!

Toepassing van de stelling van Wilson

Hoi,

Ik heb een vraag over het toepassen van de stelling van Wilson.

Gegeven: een priemgetal p en gehele getallen h en k zodat h+k=p-1.
Te bewijzen: h!.k!=(-1)^k+1 (mod p) .

Ik heb geen idee hoe ik moet beginnen. Kun u mij misschien helpen?

Groetjes Berthson

Berthson
10-12-2003

Antwoord

Hoi,

De Stelling van Wilson zegt dat: p is priem als en slechts als (p-1)!=-1 (mod p)

Voor p=2 geldt de eigenschap: 0!.1!=1=(-1)¹⁺¹ (mod 2) en 1!.0!=1=-1=(-1)⁰⁺¹ (mod 2).

Voor p2, is p oneven en p-1 dus even. Voor k=p-1 en h=0 hebben we: h!.k!=(p-1)!=-1 (mod p) volgens de stelling van Wilson. Omdat k=p-1 even is, is (-1)^k+1=-1, zodat inderdaad h!.k!=(p-1)!=(-1)^k+1(mod p). De eigenschap geldt dus alvast voor k=p-1.

Het volstaat verder te bewijzen dat de eigenschap geldt voor k-1 als ze geldt voor k (de techniek van de eindige afdaling) om te besluiten dat ze voor elke k tussen 0 en p-1 geldt.

Veronderstel dus dat h!.k!=(-1)^k+1 (mod p) met k0. Omdat k0, bestaat k^-1(mod p). We hebben dan: (h+1)!.(k-1)!=(h+1)/k.[h!.k!]=(h+1).k^-1.(-1)^k+1 (mod p). Er geldt ook dat h+k=p-1, zodat (h+1)+k=p en dus: h+1=-k (mod p), zodat (h+1). k^-1=-1 (mod p).
En dus: (h+1)!.(k-1)!=(-1).(-1)^k+1=(-1)².(-1)^(k-1)+1=(-1)^(k-1)+1 (QED).

Groetjes,
Johan

andros
10-12-2003