WisFaq!

Homogeen stelsel met niet-0 oplossing asa det(A)=0

Oké, nogmaal eens iets dat ik niet echt kan vatten. Een homogeen nxn stelsel heeft minstens 1 opl verschillend van 0 asa de determinant van dat stelsel gelijk is aan nul.

Kunnen jullie mij helpen?
Alvast danku!

Tamara
8-12-2003

Antwoord

Hoi,

Het gaat hier om n lineaire vergelijkingen in n onbekenden. Elke i-de vergelijking kunnen we schrijven als:
a_i,1.x₁+a_i,2.x₂+..+a_i,n.x_n=b_i
Als we de matrices A=[a_i,j], B=[b_j] en X=[x_i] definiëren, kunnen we het stelsel schrijven als A.X=B.

Als det(A)¹0, dan bestaat A^-1, zodat A^-1.(A.X)=A^-1.B en dus X=A^-1.B. Dit bewijst dat er precies één oplossing is voor het stelsel als det(A)¹0, namelijk A^-1.B.

In het bijzondere geval van een homogeen stelsel, is B=0 (de constante termen zijn allemaal 0). Als det(A)¹0, bestaat er dus één oplossing, namelijk A^-1.0=0. Hiermee hebben we de helft van je eigenschap bewezen: als er een oplossing is, verschillend van 0, dan moet det(A)=0.

We moeten dus nog bewijzen dat er een oplossing is, verschillend van 0 als det(A)=0. Verwijzend naar Reguliere matrices, zie je dat we A kunnen herleiden tot een bovendriehoeksmatrix waarbij minstens één rij volledig 0 is. Omdat B=0, zullen alle overeenkomstige bewerkingen op [A|B] resulteren in een matrix met ook minstens één rij volledig 0 ([A|B]: plak B als n+1-de kolom achter A).
Als er r=rang(A)n diagonaal-elementen verschillen van 0, dan betekent dit dat de eerst r vergelijkingen naar {x₁, x₂, ..., x_r} op te lossen zijn, terwijl {x_r+1, ..., x_n} vrij blijven (je doet alsof ze vast zijn en schrijft x_i als combinatie van x_j met i=1..r en j=r+1..n). Voor elke waarde van x_r+1, ..., x_n heb je zo een oplossing. Er zijn dan dus oplossingen voor A.X=0 waarbij X¹0. Het volstaat bijvoorbeeld x_r+1¹0 te kiezen.

Groetjes,
Johan

andros
9-12-2003