WisFaq!

Plaatscoördinaat

jah, ik heb dus nog een vraag in deze categorie. het zijn vragen die morgen op mijn examen gaan staan... heel hartelijk bedankt hé!!!
hier volgt de vraag: de binnenkant van een glas is kegelvormig. de hoogte is 8cm en de straal is 4cm. het glas wordt vol koffie gegoten met een debiet van 2cm³/sec. hoe snel stijgt de koffie in de beker na 2 seconden en hoe snel na 4 seconden.
de inhoud van een kegel is ¹/₃pmaal straal² maal hoogte
ik zou dus al eerst de inhoud berekenen, maar hoe je dan verder moet, blijft voor mij een vraagteken! bedankt!!!

ann bailleul
7-12-2003

Antwoord

Hallo Ann,

Op elk tijdstip is de ingegoten inhoud een kegel met een bepaalde straal en een bepaalde hoogte. Na 2 seconden bijvoorbeeld heb je 4 cm³. Nu moet je proberen te weten te komen welke hoogte je dan hebt, en daar moet je dan de afgeleide van berekenen: je hebt immers de stijgsnelheid nodig.

Goed, laten we dat oplossen voor een tijdstip t.

Inhoud in cm³ = 2t = pr_t²h_t/3 (*)
Waarbij r_t de straal van het grondvlak voorstelt op tijdstip t (een grondvlak dat zich weliswaar bovenaan de vloeistof bevindt), en h_t is dan de hoogte die de vloeistof bereikt heeft op tijdstip t.

Bovendien heeft de kegel altijd dezelfde vorm, er is namelijk een vast verband tussen r_t en h_t, als volgt:
h_t = 2r_t. Dit kan je eenvoudig aflezen als je het glas van opzij bekijkt.

Samen (vervang in (*) de r_t door h_t/2):
2t = p h_t³/12
Dus h_t³ = 24t/p
Dus h_t = ³Ö(24/p) * ³Öt

Op die manier ken je de hoogte van de vloeistof op elk tijdstip. Leid dit af naar t, dan komt er de stijgsnelheid, dus dat is het gevraagde:
^dh_t/_dt = ³Ö(24/p) * (1/3) * t^(-2/3)

Vul t=2 in, of vul t=4 in en je bekomt de gevraagde stijgsnelheid in cm/s op die tijdstippen. De negatieve exponent van t in deze uitdrukking zorgt ervoor dat de hoogte steeds trager stijgt, wat intuïtief logisch is.

Groeten,
Christophe.

Christophe
7-12-2003