WisFaq!

Ker(D)

Ik ben bezig met werkcollege LA2. En daarin komt een opgave voor met de opdracht om ker(D) te berekenen van een lineaire afbeelding:
D: V--V. D(f)=f''+3f'+2f.
Verder is uiteraard gegeven wat V is: nl. V=Pol(3).
Ik heb geen idee hoe dit aan te pakken...
Bij voor baat zeer hartelijk bedankt...

Erik
7-12-2003

Antwoord

Hallo Erik,
De kern van een lineaire afbeelding D bestaat uit de elementen die door D worden afgebeeld op de nulvector.
De kern Ker(D) van jouw afbeelding D bestaat dus uit die functies f waarvoor geldt: f" + 3 f' + 2 f = 0. Als D werkt op de ruimte van alle differentieerbare functies, dan bestaat Ker(D) uit alle oplossingen van de diff vgl f"+3f'+2f=0, dat zijn dus alle functies van de vorm f(x)=a e^2x + b e^x. Maar als we ons alle mogen bewegen in Pol (3), de verzameling van de veeltermen van graad hoogsten 3 dan vinden we daar geen interessante oplossingen. Voor geen enkel polynoom f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d geldt D(f) = 0, Behalve dan voor de nulfunctie, f(x) = 0. Dus dat is dan de hele kern.
gegroet,

JCS
7-12-2003