WisFaq!

Bewijs volgende gelijkheid

(1-sinx)(1+sinx) = (sinx/tanx)²

ik denk dat je dan cosx(1+sinx)moet doen en dan substitutie
maar ik weet het eigenlijk niet..

kimberly demeyer
7-12-2003

Antwoord

Hoi,

Ken je de formule (a-b)(a+b) = a² - b²?
Dat kun je toepassen bij het linkerlid, dan krijg je 1 - sin²x. Verder weet je ook dat sin²x + cos²x = 1 en dan is cos²x = 1 - sin²x, dus is het linkerlid hetzelfde als cos²x.

Als we het rechterlid nu ook kunnen herschrijven tot cos²x dan geldt de equivalentie. Je weet dat (a/b)² = (a²)/(b²).
Dus (sin(x)/tan(x))² = (sin²(x))/(tan²(x)). Maar tan(x) is hetzelfde als sin(x)/cos(x), dus is tan²(x) = sin²(x)/cos²(x), dus is het rechterlid gelijk aan sin²(x)/[sin²(x)/cos²(x)]. Nu gaan we de regel (a/b):(c/d) = (ad)/(bc) toepassen, dan krijg je (sin²x · cos²x)/(sin²x) en na wegstrepen krijg je ook cos²x voor het rechterlid.
Hiermee is de equivalentie aangetoond.

Wat trouwens wel belangrijk is, is dat je niet alle waarden mag invullen (het linkerlid en het rechterlid zijn niet in alle gevallen hetzelfde na substitutie van x, dus is er geen "strikte" equivalentie, dat komt omdat je in het rechterlid een breuk hebt staan en daar gelden speciale regels), want in sommige gevallen bestaat het rechterlid niet, want je mag niet delen door 0. Wanneer wordt de tangensfunctie 0? Als de teller 0 is (nulpunten van de sinusfunctie), dus voor x = kp (kÎ). En de tangensfunctie heeft ook verticale asymptoten daar waar de cosinusfunctie 0 is, dus voor x = ¹/₂p + kp (kÎ) hier geldt de equivalentie dus ook niet.

Groetjes,

Davy.

Davy
7-12-2003