WisFaq!

Bewijs strikt stijgende functie + domein irrationale functie

Kan iemand me a.u.b met de volgende vraag helpen.

'Een functie is strikt stijgend a.s.a voor alle x1,x2 Îdomein f:x1 x2 -- f(x1)f(x2).
Bewijs dat strikt stijgende functies altijd omkeerbaar zijn.' Hoe kan ik dit zo correct mogelijk bewijzen?

Is er MISSCHIEN ergens een site(oefeningen) waar ik domein van functie moet zoeken (deze moet Rationaal en irrationaal zijn , dus in de breuk komt een som/verschil van wortels te staan EN onder de breukstreep ook weer een wortel). Zo een vraag kregen we op de TOETS en ik wil graag oefenen. Maandag heb ik examens. (ik zit in het VIJFDE)
Alvast bedankt.

Naïl
5-12-2003

Antwoord

Hallo,

Je eerste vraag: een functie is omkeerbaar als elk beeld maximum één keer voorkomt. Vb: y=x² (met domein alle reële getallen) is niet omkeerbaar omdat 4 het beeld is van zowel 2 als -2. Dus als je de omgekeerde (of 'inverse') functie zou willen opstellen, zou je niet weten of je als beeld van 4 nu 2 of -2 zou moeten kiezen.

Dus het enige probleem dat kan optreden voor de omkeerbaarheid van een functie, is dat die functie in twee verschillende punten hetzelfde beeld heeft, dus stel x₁¹x₂ maar f(x₁)=f(x₂). Dit kan niet volgens het gegeven dat de functie strikt stijgend is, want:
- ofwel is x₁x₂ en dan f(x₁)f(x₂), dus f(x₁)¹f(x₂)
- ofwel is x₁x₂ en dan f(x₁)f(x₂), dus f(x₁)¹f(x₂)

En daarmee is de stelling bewezen.

Je tweede vraag:
Ik weet zo niet direct een site met oefeningen. Staan er zo geen oefeningen genoeg in je handboek? Anders kan je misschien wat zoeken op deze site, zoeken op 'domein' geeft al een hele hoop ooit gestelde vragen...

Algemeen kan je voor die specifieke oefeningen wel het volgende onthouden: het domein, dat zijn alle getallen behalve die waar er een 'fout' optreedt, en dat kan zijn:
- delen door nul
- de wortel nemen van een negatief getal
Voor het eerste moet je de noemer gelijk aan nul stellen, en die vergelijking proberen oplossen en de oplossingen schrap je dan uit het domein.
Voor het tweede moet je een tekenonderzoek uitvoeren van wat er onder ELKE noemer staat, en waar er iets negatief uitkomt moet je dan ook schrappen uit je domein.

Als oefening misschien het volgende:
^{Ö(x-3)+Ö(x2+7x+6)}/_Ö(x-4)-3

Als je de oplossing doorstuurt (in een reactie op dit antwoord) laat ik je wel weten of het juist is.

Groeten, en succes met je examen,
Christophe.

Christophe
5-12-2003